Элементарная математика. Геометрия.

Задача

Вокруг треугольника $ABC$, в котором $BC=a$, $\angle B=\alpha$, $\angle C=\beta$, описана окружность. Биссектриса угла $A$ пересекает окружность в точке $K$. Найдите $AK$.

Решение:
Приступая к решению, вспомним тот факт, что сторона треугольника, вписанного в окружность, равна такому произведению: диаметр описанной вокруг этого треугольника окружности на синус угла, противолежащего этой стороне.

Из условия нам известна только сторона $BC$, которая равна $a$, противолежащий ей $\angle BAC$ нам не известен, но мы можем выразить его, воспользовавшись данными нам по условию углами и тем, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$\angle BAC=180^\circ-(\alpha+\beta)$.

Пусть $R$ — это радиус окружности, тогда ее диаметр равен $2R$, отсюда $2R=\frac{BC}{sin{(180^\circ-(\alpha+\beta))}} =\frac{a}{sin{(180^\circ-(\alpha+\beta))}}$ — такое выражение справедливо благодаря тому факту, который мы вспомнили вначале.

Мы можем упростить это выражение, используя формулы приведения:

$sin{(180^\circ-\varphi)}=sin{(\varphi)}$, отсюда, если представить, что $(\alpha+\beta)=\varphi$, получим:

$sin{(180^\circ-(\alpha+\beta))}=sin{(\alpha+\beta)}$, тогда

$2R=\frac{BC}{sin{(\alpha+\beta)}}=\frac{a}{sin{(\alpha+\beta)}}$.

Далее соединим точку $B$ с точкой $K$ и рассмотрим $\angle ABK$. Мы можем найти его величину, сложив величины $\angle ABC$ и $\angle CBK$. Величина $\angle ABC$ дана нам в условии: $\angle ABC=\alpha$, а как найти $\angle CBK$?

Посмотрим на рисунок: $\angle CBK$ и $\angle CAK$ — вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу, значит, они равны (по свойству вписанных углов).

Так как $AK$ — биссектриса угла $CAB$, то

$\angle CAK=\angle BAK=\frac{1}{2}\angle BAC$, а величину угла $BAC$ мы знаем, он равен $180^\circ-(\alpha+\beta)$, тогда $\angle CAK=\angle CBK=\frac{1}{2}(180^\circ-(\alpha+\beta))$, следовательно

$\angle ABK=\angle ABC+\angle CBK=\alpha+\frac{1}{2}(180^\circ-(\alpha+\beta))$.

Раскрыв скобки, получим: $\angle ABK=90^\circ+\frac{\alpha-\beta}{2}$, тогда $AK=2R sin{\angle ABK}=2R sin{(90^\circ+\frac{\alpha-\beta}{2})}=2R cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}$ — мы преобразовали выражение, воспользовавшись формулами приведения: $sin{(90^\circ+\varphi)}=cos{\varphi}$, представив, что $\frac{\alpha-\beta}{2}=\varphi$.

Поcкольку $2R=\frac{a}{sin{(\alpha+\beta)}}$, $AK=\frac{a \,cos{(\frac{\alpha-\beta}{2})}}{sin{(\alpha+\beta)}}$.

Ответ:

$AK=\frac{a\, cos{(\frac{\alpha-\beta}{2})}}{sin{(\alpha+\beta)}}$.