Элементарная математика. Геометрия.

Задача

В равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $\angle A=\alpha >90^\circ$ и $BC=a$. Найдите расстояние между точкой пересечения высот и центром описанной окружности.

Решение:

Расстояние от центра описанной окружности до точки пересечения высот $OD$ можно находить различными способами, например, как сумму радиуса $DA$ и $AO$. Ещё как вариант $MD + MA + AO$ , но в нашем случае мы будем находить $OD = OM + MD$ и воспользуемся определением $tg$ и $ctg$.

Для нахождения $OM$ рассмотрим $\triangle OCM$:

$\angle COM = \frac{180^\circ- \alpha}{2}$, что следует из подобия треугольников $OCM$ и $BLC$ ( так как $\angle M = \angle L = 90^\circ$, $\angle C$ общий $\Rightarrow \angle O = \angle B$ ).

$CM = \frac{a}{2}$, так как $OM$ продолжение серединного перпендикуляра к $CB$.

$tg \angle COM = \frac{CM}{OM}\Rightarrow OM = \frac{CM}{ctg \angle COM}$,

$OM = \frac{a}{2} \cdot \ ctg (90^\circ-\frac{\alpha}{2} ) = \frac{a}{2} \cdot tg \frac{\alpha}{2}$.

Расстояние $MD$ найдём из $\triangle CMD$.

$\angle CDM$ равен градусной мере дуги, на которую он опирается, то есть $\angle CDM = \frac{360^\circ - 2\alpha}{2} = {180^\circ - \alpha}$,

$tg \angle CDM = \frac{CM}{MD} \Rightarrow MD = \frac{CM}{tg \angle CDM} = \frac {\frac{a}{2}}{tg (180^\circ - \alpha)} = \frac{a}{2} \cdot ctg (180^\circ - \alpha) = - \frac {a} {2} \cdot ctg\alpha$

$OD = OM + MD = \frac {a \cdot tg\frac{\alpha}{2}} {2} + \frac{-a\cdot ctg \alpha}{2}=\frac{a}{2} (tg \frac{\alpha}{2}-ctg \alpha)$.

Ответ:

$\frac{a}{2} (tg \frac{\alpha}{2}-ctg \alpha)$.