Элементарная математика. Геометрия.

Задача

В окружности радиуса $R$ проведён диаметр и на нём взята точка $A$ на расстоянии $a$ от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке $A$ и изнутри касается данной окружности.

Решение:

Пусть точка $O$ центр первой окружности, а $C$ — точка касания двух окружностей. Проведём $OC=R$. По свойству окружностей (точка касания двух окружностей лежит на прямой, проходящей через их центры) $OC$ проходит через центр второй окружности $P$. Следовательно $PO=R-r$, где $R$ — радиус первой окружности, $r$ — радиус второй окружности.

Проведём $PA=r$. Так как $A$ точка касания второй окружности с диаметром первого, то $PA \perp AO$.

Из полученного прямоугольного $\bigtriangleup APO$, где $AP=r$, $PO=R-r$, $AO=a$, по теореме Пифагора мы получаем:

$r^2=(R-r)^2-a^2$,

$r^2=R^2-2Rr+r^2-a^2$,

$2Rr=R^2-a^2$,

$r=\frac{R^2-a^2}{2R}$.

Ответ:

$r=\frac{R^2-a^2}{2R}$.