Элементарная математика. Геометрия.

Задача

Вершины правильного шестиугольника со стороной $a$ являются центрами окружностей, радиусы которых равны $\frac{a}{\sqr{2}}$. Найдите площадь части шестиугольника, расположенной вне окружностей.

Решение:



Для того, чтобы построить правильный шестиугольник, начертим окружность радиусом $a$. Возьмем на окружности любую точку. Из этой точки откладываем на окружность отрезок, длина которого равна радиусу окружности. От новой полученной точки также откладываем отрезок и так далее до получения правильного шестиугольника, площадь которого равна $S_6=\frac{3\sqr{3}}{2}a^2$. Из свойств правильного шестиугольника нам известно, что все его внутренние углы $\alpha=120^o$.

Из вершин шестиугольника проводим окружности радиуса $r=\frac{a}{\sqr{2}}$. Для нахождения площади части шестиугольника, расположенной вне окружностей, необходимо из площади шестиугольника вычесть все пересечения с кругами. Пересечения обозначим как $S_1$, $S_2$ и $S_3$.

Площадь сектора, образованного пересечением круга и шестиугольником, находим по формуле $S_1=\frac{\pi r^2\alpha}{360^o}$. Подставляем известные данные и получаем, что $S_1=\frac{\pi a^2}{6}$.

Соединим точки пересечения двух окружностей. Полученную хорду обозначим $k$. Теперь рассмотрим треугольник $ABC$, образованный половиной стороны шестиугольника, половиной хорды и радиусом окружности. $\bigtriangleup ABC$ — прямоугольный, т.к. $a\perp k$. По теореме Пифагора найдем $\frac{k}{2}= \sqr{\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{4}}=\frac{a}{2}$ $\Longrightarrow$ $k=a$. Следовательно $\bigtriangleup ABC$ — равнобедренный, откуда $\angle B=45^o$ $\Longrightarrow$ $\beta=2\angle B=90^o$.

Площадь пересечения двух кругов и шестиугольника обозначим $S_2$ и найдем по формуле площади сегмента: $S_2=\frac{1}{2} r^2 (\frac{\pi \beta}{180^o}-\sin{\beta})=\frac{a^2}{4}(\frac{\pi}{2}-1)$.

За $S_3$ возьмем разность между площадью сектора и двумя пересечениями кругов и шестиугольника: $S_3=S_1-2S_2=\frac{\pi a^2}{6}-\frac{a^2}{2}(\frac{\pi}{2}-1)=\frac{a^2}{2}(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}+1)=\frac{a^2}{2}(1-\frac{\pi}{6})$.

Искомую площадь фигуры можно найти двумя способами: $S=S_6-3S_1-3S_3$ и $S=S_6-6S_3-6S_2$. Проведем вычисления в первом случае: $S=\frac{3\sqr{3}}{2}a^2-\frac{\pi a^2}{2}-\frac{3}{2}a^2(1-\frac{\pi}{6})=\frac{a^2}{2}(3\sqr{3}-\pi-3+\frac{\pi}{2})=\frac{a^2}{2}(3\sqr{3}-3-\frac{\pi}{2})$.

Ответ:

$\frac{a^2}{2}(3\sqr{3}-3-\frac{\pi}{2})$.