Элементарная математика. Геометрия.

Задача

Дан квадрат $ABCD$ со стороной $a$. Определите расстояние между серединой отрезка $AM$, где $M$ — середина $BC$, и точкой $N$ на стороне $CD$, делящей её так, что $CN:ND=3:1$.

Решение:

Для решения задачи сделаем дополнительные построения. Достроим отрезки $MN$ и $AD$. Теперь найдем отрезки $MN$, $AN$, $AM$. Для этого мы воспользуемся Теоремой Пифагора. И по Теореме Пифагора в $\triangle ABM$ найдем $AM$.

$AB^2+BM^2=AM^2$.

$AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=\sqrt{a^2+ \frac{1}{4}a^2}=\frac{1}{2}a\sqrt{5}$.

Аналогично найдем $AN$ и $MN$ из $\triangle ADN$ и $\triangle NCM$ .

$AN=\sqrt{AD^2+ND^2}=\frac{1}{4}a \sqrt{17}$.

$MN=\sqrt{MC^2+CN^2}=\frac{1}{4}a \sqrt{13}$.

Теперь воспользуемся формулой нахождения медианы в произвольном треугольнике и найдем нашу сторону $ON$:

$ON=\frac{1}{2}\sqrt{2MN^2+2AD^2-AM^2}=\frac{1}{2}a\sqrt{10}$

Ответ:

$ON =\frac{1}{2}a\sqrt{10}$.