Элементарная математика. Геометрия.

Задача

В треугольнике $ABC$ проведена высота $BN$. Точка $O$ — центр описанной около $ABC$ окружности. Докажите, что $\angle{OBC}=\angle{NBA}$.

Доказательство:

Соединим точки $O$ и $C$, $O$ и $B$, получим $CO=BO$ как радиусы. Знчит $\triangle{BOC}$ — равнобедренный.

Рассмотрим далее $\triangle{BOC}$. Проведем в нем высоту $OH$, она же является и биссектрисой, значит $\angle{BOH}=\angle{COH}$.Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, то $\angle{OBC}=90^\circ-\angle{BOH}$.

Рассмотрим наконец $\triangle{ABN}$. В нем $\angle{NBA}=90^\circ-\angle{BAC}$, он же является вписанным. Так как угол, вписанный в окружность, измеряется половиной соответсвующего ему центрального угла, то $\angle{BAC}=\frac{1}{2}\cdot \angle{BOC}$. Учитывая, что$\angle{BOH}=\angle{COH}$, получим $\angle{BAC}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot\angle{BOH}$, следовательно $\angle{BAC}=\angle{BOH}$.

Из имеющихся равенств, а именно

$\angle{OBC}=90^\circ-\angle{BOH}$

и

$\angle{NBA}=90^\circ-\angle{BAC}$

и учитывая, что $\angle{BAC}=\angle{BOH}$, получаем $\angle{OBC}=\angle{NBA}$. Что и требовалось доказать.$\boxtimes$