Элементарная математика. Геометрия.

Задача

В треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_1$ и $AA_1$. Точка $O$ — центр описанной около $ABC$ окружности. Докажите, что прямые $A_1B_1$ и $CO$ перпендикулярны.

Доказательство:

Проведем высоту $CC_1$.

Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке, пусть $AA_1\cap BB_1 \cap CC_1 =H$.

$\angle{B_1CH}=\angle{BCN}$ (смотрите задачу 8).

Около четырехугольника $HB_1CA_1$ можно описать окружность, так как сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Т.е. $\angle{CB_1H}+\angle{CA_1H}=90^\circ+90^\circ=180^\circ$, а значит $\angle{B_1CA_1}+\angle{B_1HA_1}=180^\circ$, так как сумма углов любого четырехугольника $360^\circ$. $\angle{B_1CH}=\angle{B_1A_1H}$ потому что они опираются на одну и ту же дугу.

$\angle{CAC_1}=90^\circ -\angle{B_1CH}$,

$\angle{CA_1B_1}=90^\circ -\angle{B_1A_1H}$,

$\Longrightarrow$ $\angle{CAC_1}=\angle{CA_1B_1}$ (так как $\angle{B_1CH}=\angle{B_1A_1H}$).

Из равенств $\angle{B_1CH}=\angle{B_1A_1H}=\angle{BCN}$, $\angle{CAC_1}=\angle{CA_1B_1}$ следует, что $\angle{CA_1B_1}+\angle{BCN}=90^\circ$ $\Longrightarrow$ $\angle{CNA_1}=90^\circ$, т.е. прямые $A_1B_1$ и $CO$ перпендикулярны. Что и требовалось доказать. $\boxtimes$