Элементарная математика. Геометрия.

Задача

Две окружности $I$ и $II$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проведены хорды $AC$ и $AD$, касающиеся данных окружностей. Доказать, что $AC^2\cdot{DB}=AD^2\cdot{BC}$.

Доказательство:

Пусть $O_1$ и $O_2$—центры пересекающихся окружностей $I$ и $II$. Проведем радиусы $O_1A$ и $O_2A$. Построим хорды $AC$ и $AD$, которые принадлежат касательным к окружностям $I$ и $II$ соответственно и перпендикулярны $O_1A$ и $O_2A$.
Угол $BAC$ как угол между касательной $AC$ к окружности $I$ и ее хордой $AB$ равен половине дуги $AB$ и, следовательно, он равен вписанному углу $ADB$, опирающемуся на ту же дугу. Аналогично $\angle{DAB} =\angle{ACB}$. Значит, $\bigtriangleup {ABD}$ $\sim$ $\bigtriangleup {CBA}$ и, таким образом, $\frac{DB}{AB}=\frac{AD}{AC}$, $\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{AC}$. Отсюда $\frac{DB}{BC}=\frac{AD^2}{AC^2}$ или $AC^2\cdot{DB}=AD^2\cdot{BC}$, что и требовалось доказать.

Ответ:

$AC^2\cdot{DB}=AD^2\cdot{BC}$