Элементарная математика. Геометрия.

Задача

Дан квадрат $ABCD$, сторона которого равна $a$, и построены две окружности. Первая окружность целиком расположена внутри квадрата $ABCD$, касается стороны $AB$ в точке $E$, а также касается стороны $BC$ и диагонали $AC$. Вторая окружность с центром в точке $A$ проходит через точку $E$. Найдите площадь общей части двух кругов, ограниченных этими окружностями.

Решение:

Чтобы правильно построить окружности необходимо вспомнить свойство отрезков касательной к окружности: отрезки касательных, проведенных из одной точки равны. Пусть вписанная окружность касается катетов прямоугольного треугольника $ABC$ в точках $E$ и $F$, гипотенузы — в точке $G$. Получаем: $AE=AG=CG=CF$, $BE=BF$. Можно сделать вывод, что окружности пересекаются в точках $E$ и $G$, где $G$ — середина диагонали $AC$.
Вычислим общую часть двух кругов, как сумму площадей сегментов, опирающихся на хорду $EG$, для этого используем формулу $S= \frac{1}{2} \cdot R^2 \cdot ( \frac{\pi \cdot \alpha}{180^0}- \sin{ \alpha})$, где $\alpha$ — центральный угол, опирающийся на хорду.

1. Площадь сегмента круга, пересекающего квадрат.

Для вычисления этого сегмента нужно вычислить угол и радиус.

$\angle EAG=45^0$, т.к. это угол равнобедренного прямоугольного треугольника. Используя теорему Пифагора вычислим гипотенузу $AC$: $AC= \sqrt{a^2+a^2}=a \sqrt{2}$. При анализе рисунка мы выяснили, что $AE=AG=GC$, $AC=AG+GC$, откуда легко вычислить радиус: $R= \frac{AC}{2}= \frac{a \sqrt{2}}{2}$.

Используя найденные данные вычислим площадь этого сегмента:

$S_{1}= \frac{1}{2} \cdot ( \frac{a \sqrt{2}}{2})^2 \cdot ( \frac{ \pi \cdot 45^0}{180^0} - \sin{45^0})$ $= \frac{a^2}{4} \cdot ( \frac{ \pi}{4} - \frac{ \sqrt{2}}{2})$.

2. Площадь сегмента вписанного круга.

Для того, чтобы вычислить эту площадь, также необходимо найти градусную меру центрального угла $\angle EOG$, опирающегося на хорду $EG$, и радиус этой окружности $r$.
$\angle EOG$ найдем из дельтоида $AEOG$, где $\angle AEO=\angle OGA=90^0$ по свойству радиуса, проведенного в точку касания (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной). $\angle EOG= 360^0- \angle AEO - \angle OGA -\angle GAE$. $\angle GAE=45^0$, т.к. это угол между катетом и гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника. $\angle EOG= 360^0- 90^0 - 90^0 - 45^0=135^0$.

При вычислении радиуса, обратим внимание на то, что четырехугольник $EOFB$ является квадратом. Так как из исследований выше следует, что $\angle BEO=\angle OFB=\angle FBE=90^0$ и $EO=OF=BE=FB=r$. Откуда $r=AB-AE=a-a \frac{\sqr{2}}{2}=a(1-\frac{\sqr{2}}{2})$.

Теперь у нас есть все необходимые данные, чтобы вычислить площадь второго сегмента:

$S_{2}= \frac{1}{2} \cdot (a(1-\frac{ \sqrt{2}}{2}))^2 \cdot (\frac{ \pi 135^0}{180^0}- \sin{135^0})$ $= \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot (1- \sqrt{2}+ \frac{1}{2}) \cdot ( \frac{3 \pi}{4}- \frac{ \sqrt{2}}{2})$ $= \frac{a^2}{2} \cdot ( \frac{3}{2}- \sqrt{2}) \cdot (\frac{3 \pi}{4}- \frac{ \sqrt{2}}{2})$.

3. Площадь общей части.

$S=S_{1}+S_{2}= \frac{a^2}{2} \cdot ( \frac{3}{2}- \sqrt{2}) \cdot (\frac{3 \pi}{4}- \frac{ \sqrt{2}}{2})+ \frac{a^2}{4} \cdot ( \frac{ \pi}{4} - \frac{ \sqrt{2}}{2})$ $= \frac{a^2}{2} \cdot (\frac{9 \pi}{8}- \frac{3 \sqrt{2}}{4}- \frac{3 \sqrt{2} \pi}{4}+1+ \frac{ \pi}{8}- \frac{ \sqrt{2}}{4})$ $= \frac{a^2}{2} \cdot (\frac{5 \pi}{4} - \sqrt{2}- \frac{3 \sqrt{2} \pi}{4}+1)$ $= \frac{a^2(5-3 \sqrt{2}) \pi}{8}+ \frac{a^2 (1- \sqrt{2})}{2}$ $= a^2(1-\sqr{2})( \frac{1}{2}-\frac{(2 \sqrt{2}-1) \pi}{8})$.

Ответ:

$S= a^2(1-\sqr{2})( \frac{1}{2}-\frac{(2 \sqrt{2}-1) \pi}{8})$.