Элементарная математика. Геометрия.

Задача

Вокруг равностороннего треугольника $ABC$ описана окружность и на дуге $BC$ взята произвольная точка $M$. Докажите, что $AM=BM+CM$.

Решение:

Откладываем на прямой $AM$ отрезок $EM$, такой что $EM=BM$, при помощи построения окружности с центром в точке $M$ и радиусом $BM$. Точка в которой эта окружность пересекает прямую $AM$ является искомой точкой $E$. $EM=BM$, т.к. они являются радиусом этой окружности. Проведем к точке $E$ прямую из вершины $B$. Тогда $\triangle BEM$ равнобедренный. $\angle BMA = \angle BCA = 60^\circ$, т.к. вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $BA$ равны. Следовательно $\triangle BEM$ — равносторонний.

$\angle BEM = 60^\circ \Rightarrow \angle BEA = 180^\circ - \angle BEM = 180^\circ-60^\circ = 120^\circ$, т.к. внешний угол $\angle BEM$ .

$\angle AMC = \angle ABC = 60^\circ$, т.к. вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $AC$ равны. $\Rightarrow \angle BMC= \angle BMA + \angle AMC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \Rightarrow \angle BMC = \angle BEA$.

$\angle BCM = \angle BAM$, т.к. вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $BM$ равны. $\Rightarrow \angle ABE = \angle CBM$, (т.к. $\angle ABE =180 - \angle BEA - \angle BAM$, а $\angle CBM =180 - \angle BMC - \angle BCM$)

Отсюда следует, что $\triangle BMC = \triangle ABE$, по признаку равенства треугольников, по двум сторонам и углу между ними ($AB=BC$, по условию, $BE=BM$, т.к. мы доказали раньше, что $\triangle BEM$ — равносторонний, и углы $\angle ABE = \angle CBM$) $\Rightarrow AE=CM \Rightarrow AM=EM+AE=BM+CM$.

$\boxtimes$