ЭМГеометрия: Задача (175)

Задача

Дан квадрат $ABCD$ со стороной $a$ . Найдите радиус окружности, проходящей через середину стороны $AB$ , центр квадрата и вершину $C$ .

Решение:

Если мы соединим точки $C$ , $E$ , $F$ , по которым должна строится окружность, то получим треугольник вписанный в эту окружность. Центр окружности находим так: через середины сторон $EF$ и $FC$ проводим перпендикулярные им прямые, точка пересечения этих прямых и будет центром окружности, радиус которой требуется определить.

Для любого треугольника верна теорема синусов. В нашем случае она имеет следующий вид:

$\frac{EC}{sin( \angle EFC)}=\frac{EF}{sin( \angle ECF)}=\frac{FC}{sin( \angle FEC)}=2R$ .

Отсюда имеем

$R=\frac{b}{2sin( \beta)}$ , где $b=EC$ , $\beta= \angle EFC$ .

Сторону $EC$ находим по теореме Пифагора ( $EC^2=EB^2+BC^2$ ) из прямоугольного $\triangle EBC$ :

$EC= \sqrt{EB^2-BC^2}.$

Поскольку $E$ — середина стороны $AB$ , то $EB= \frac{1}{2}AB= \frac{a}{2}$ . Т.к. $BC$ — сторона квадрата $ABCD$ , значит $BC=a$ . Отсюда получаем:

$EC= \sqrt{ \frac{a^2}{4} + a^2}= \sqrt{ \frac{5a^2}{4}}= \frac{a \sqrt{5}}{2}.$

По построению имеем $EF||BC$ и прямая $FC$ — секущая к этим параллельным прямым, следовательно сумма углов $\angle BCF+ \angle EFC=180^\circ$ . Угол $\angle BCF=45^\circ$ (т.к. диагональ квадрата $ABCD$ $FC$ является также и биссектрисой угла квадрата $ABCD$ ), значит $\angle EFC=135^\circ$ .