Элементарная математика. Геометрия.

Задача

Окружность радиуса $r$ касается некоторой прямой в точке $M$. На этой прямой по разные стороны от $M$ взяты точки $A$ и $B$ так, что $MA=MB=a$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся данной окружности.

Решение:

Для того, чтобы правильно решить задачу необходимо правильно построить чертёж. При построении чертежа могут возникнуть проблемы с расположением окружности, проходящей через точки $A$ и $B$. Для правильного расположения данной окружности нужно выполнить все требования задачи. В данном случае может быть упущено условие, что окружности должны касаться, а не пересекаться. После того как чертеж выполнен правильно можно приступать к решению задачи. В данном случае быстрее и удобнее будет найти диаметр большей окружности, а уже из него радиус. Значит, проведем хорду $CK$ через центр большей окружности, которая и будет ее диаметром. Для того, чтобы найти длину $CK$ нужно вспомнить теорему об отрезках пересекающихся хорд: при пересечении двух хорд окружности, получаются отрезки, произведение которых у одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Откуда получаем, что $CM \cdot MK=AM \cdot MB$, то есть $a^2=2r \cdot MK$ $\Rightarrow$ $MK=\frac{a^2}{2r}$. Так как $CM+MK=D$, где $D$ – диаметр большей окружности. $D=\frac{a^2}{2r}+2r=\frac{a^2+4r^2}{2r}$, а так как $D=2R$, где $R$ – радиус искомой окружности, получаем, что $R=\frac{a^2+4r^2}{4r}$.

Ответ:

$\frac{a^2+4r^2}{4r}$