Задача

Окружность радиуса r касается некоторой прямой в точке M. На этой прямой по разные стороны от M взяты точки A и B так, что MA=MB=a. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся данной окружности.

Решение:

Для того, чтобы правильно решить задачу необходимо правильно построить чертёж. При построении чертежа могут возникнуть проблемы с расположением окружности, проходящей через точки A и B. Для правильного расположения данной окружности нужно выполнить все требования задачи. В данном случае может быть упущено условие, что окружности должны касаться, а не пересекаться. После того как чертеж выполнен правильно можно приступать к решению задачи. В данном случае быстрее и удобнее будет найти диаметр большей окружности, а уже из него радиус. Значит, проведем хорду CK через центр большей окружности, которая и будет ее диаметром. Для того, чтобы найти длину CK нужно вспомнить теорему об отрезках пересекающихся хорд: при пересечении двух хорд окружности, получаются отрезки, произведение которых у одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Откуда получаем, что CM \cdot MK=AM \cdot MB, то есть a^2=2r \cdot MK \Rightarrow MK=\frac{a^2}{2r}. Так как CM+MK=D, где D – диаметр большей окружности. D=\frac{a^2}{2r}+2r=\frac{a^2+4r^2}{2r}, а так как D=2R, где R – радиус искомой окружности, получаем, что R=\frac{a^2+4r^2}{4r}.

Ответ:

\frac{a^2+4r^2}{4r}
마지막 수정됨: 목요일, 23 2월 2017, 1:52 PM