Элементарная математика. Геометрия.

Задача

Докажите, что для любого $\bigtriangleup{ABC}$ расстояние от вершины до точки пересечения высот (ортоцентра) вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.

Решение:

Проведем через вершины треугольника прямые, параллельные противолежащим сторонам, и обозначим точки пересечения $E$,$D$,$F$, как показано на рисунке. Возникли параллелограммы, например, $ABCE$. Пользуясь их свойствами, доказываем, что $\bigtriangleup{ABC}$ — это треугольник средних линий $\bigtriangleup{EDF}$. $\bigtriangleup{EDF}$ подобен $\bigtriangleup{ABC}$ с коэффициентом $2$. Отрезок $EH$ перпендикулярен $EF||BC$ и проходит через середину $EF$. Значит, точка $H$ является центром описанной окружности треугольника $\bigtriangleup{EDF}$. Отсюда $AH$ и $OM$ это соответственные элементы подобных треугольников. Их отношение равно коэффициенту подобия. Значит, $AH=2OM$.