Элементарная математика. Геометрия.

Задача

Дан ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Найдите радиус окружности, проходящей через две соседние вершины ромба и касающейся противоположной стороны ромба или её продолжения.

Пусть $R$ — радиус окружности, проходящей через вершины $A$ и $B$ ромба $ABCD$ ($\angle A = \alpha$) и касающейся прямой $DC$ в точке $M$, $K$ — середина $AB$. Тогда $MK = a\sin \alpha$. Обозначим $\angle MAB = \beta$. Тогда $\text{tg}\beta=\frac{KM}{AK}= \frac{a\sin\alpha}{\frac{a}{2}}=2\sin\alpha$, $AM = \frac{AK}{\cos \beta} = \frac{a}{2\cos \beta}.$ Отсюда находим что $R = \frac{AM}{2\sin \beta} = \frac{a}{4\sin \beta \cos \beta} = \frac{a}{2\sin 2\beta},$ а т. к. $\sin 2\beta = \frac{2\tan \beta}{1 + \tan ^{2}\beta} = \frac{4\sin \alpha}{1 + 4\sin ^{2}\alpha}$ то $R = \frac{a(1 + 4\sin ^{2}\alpha)}{8\sin \alpha}.$

Ответ:

$\frac{a(1+4\sin ^{2}\alpha)}{8\sin \alpha}$.