Планиметрия

3. Параллельные прямые

3.2. Признаки параллельности прямых

Если какие-нибудь две прямые пересечены третьей, то образованные при этом углы имеют следующие названия:
1) соответственные углы: 1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8;
2) внутренние накрест лежащие: 3 и 6, 4 и 5; внешние накрест лежащие: 1 и 8, 2 и 7;
3) внутренние односторонние: 3 и 5, 4 и 6; внешние односторонние: 1 и 7, 2 и 8.

Теорема 1 (первый признак параллельности)

Если при пересечении двух прямых третьей накрест лежащие(внутренние или внешние) углы равны, то такие прямые параллельны.

Доказательство:

Дано: прямые AB, CD и MN; \angle 1=\angle 2 .
Требуется доказать: AB||CD.

Возьмем точку O — середину MN и проведем OK\perp CD. Докажем, что OK\perp AB. \bigtriangleup OKN=\bigtriangleup OLM (по стороне и двум прилежащим углам). В них \angle OLM=\angle OKN. Но \angle OKN = 180^\circ. Следовательно, KL\perp AB: AB||CD. Если будет дано, что равны внешние накрест лежащие углы, то обязательно будут равны и внутренние накрест лежащие углы. И для этого случая теорема доказана. \fbox{\times}

Теорема 2 (второй признак параллельности)

Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство:

Воспользуйтесь рисунком и убедитесь, что из равенства соответственных углов следует равенство внутренних накрест лежащих углов (используйте свойство вертикальных углов) и по первому признаку параллельности прямые параллельны.

Теорема 3 (третий признак параллельности)

Если при пересечении двух прямых третьей сумма односторонних (внутренних или внешних) углов равна 180^\circ, то прямые параллельны.

Доказательство:

Доказывается аналогично второму признаку параллельности (используйте свойство смежных углов).