Элементарная математика. Геометрия.

Планиметрия

3. Параллельные прямые

3.1. Параллельные прямые

Определение

Две прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общей точки, называются параллельными прямыми.

Аксиома о параллельных прямых

Через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

Следствие 1

Прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую.

Доказательство:

$CD || AB$. Допустим, что $EF$ не пересечет $AB$, т. е. будет $EF || AB$. Тогда через точку $O$ проходят две различные прямые: $CD || AB$ (по условию) и $EF || AB$ (по допущению), что невозможно, так как противоречит аксиоме о параллельных прямых. Итак, допущение неверно и $EF$ пересечет и $AB$.

Следствие 2

Если каждая из двух прямых параллельна одной и той же третьей прямой, то они параллельны и между собой.

Доказательство:

Пусть $AB || MN$ и $CD || MN$. Если бы $AB$ и $CD$ были не параллельны, то они пересекались бы в некоторой точке $O$, через которую были бы проведены две прямые ($AB$ и $CD$), параллельные $MN$, что противоречит аксиоме о параллельных прямых. $AB$ и $CD$ не могут иметь общей точки, следовательно $AB || CD$.

Теорема

Два перпендикуляра к одной прямой параллельны.

Докажите методом от противного.