Планиметрия

3. Параллельные прямые

3.4. Углы с соответственно параллельными и перпендикулярными сторонами

Теорема 1

Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы равны или в сумме составляют 180^\circ.

Дано: AB || CF, BC || DE.

Требуется доказать \angle{\gamma}=\angle{\alpha}, \angle{\varepsilon}=\angle{\alpha}, \angle{\delta}+\angle{\alpha}=180^\circ, \angle{\zeta}+\angle{\alpha}=180^\circ.

Доказательство:

\angle{\gamma}=\angle{\beta}(соответственные при параллельных BC и DE и секущей CF). \angle{\alpha}=\angle{\beta} (соответственные при параллельных AB и CF и секущей BC). \angle{\gamma}=\angle{\alpha}. \angle{\varepsilon}=\angle{\gamma}(вертикальные), поэтому \angle{\varepsilon}=\angle{\alpha}. \angle{\delta}+\angle{\gamma}=180^\circ и \angle{\zeta}+\angle{\gamma}=180^\circ (по свойству смежных углов). Эти два равенства останутся верными, если \angle{\gamma} заменим равным углом \angle{\alpha}. Тогда \angle{\delta}+\angle{\alpha}=180^\circ и \angle{\zeta}+\angle{\alpha}=180^\circ. Что и требовалось доказать. \fbox{\times}

Теорема 2

Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы равны или в сумме составляют 180^\circ.

Дано: KL \bot AB, MN \bot AC, AE \bot AC и AD \bot AB.

Требуется доказать: \angle{\zeta}=\angle{\varepsilon},\angle{\theta}=\angle{\varepsilon},\angle{\kappa}=\angle{\varepsilon},\angle{\eta}+\angle{\varepsilon}=180^\circ, \angle{\iota}+\angle{\varepsilon}=180^\circ.

Доказательство:

\angle{\zeta}=90^\circ—\angle{CAD} и \angle{\varepsilon}=90^\circ—\angle{CAD}, поэтому \angle{\zeta}=\angle{\varepsilon}. AD||KL и AE||MN. \angle{\zeta}=\angle{\theta}(по теореме 1). Отсюда \angle{\theta}=\angle{\varepsilon}. Тогда \angle{\kappa}=\angle{\varepsilon}, \angle{\eta}+\angle{\varepsilon}=180^\circ, \angle{\iota}+\angle{\varepsilon} =180^\circ. \fbox{\times}