Элементарная математика. Геометрия.

Планиметрия

3. Параллельные прямые

3.5. Сумма углов треугольника

Теорема

Сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$.

Доказательство:

Доказательство её легко усмотреть на рисунке, где $MN\parallel AC$. Итак, $\angle{A}+\angle{B}+\angle{C}=180^{\circ}$.

Следствие 1

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство:

Внешний угол дополняет смежный с ним внутренний до $180^\circ$, и два других внутренних угла этого треугольника, вместе взятые, также дополняют тот же угол до $180^\circ$.

Следствие 2

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла $30^{\circ}$ равен половине гипотенузы.

Дано: $\triangle{ABC}$, $\angle{ABC}=90^{\circ}$, $\angle{ACB}=60^{\circ}$.
Требуется доказать: $AC=\frac{1}{2}AB$.

Доказательство:

Повернём $\triangle{ABC}$ вокруг $BC$ так, чтобы он занял положение $BCA_1$. Тогда $\angle{ABA_1}=60^{\circ}$, $AB=A_1B$ и углы при основании $\angle{A}=\angle{A_1}=60^{\circ}$. $\triangle{ABA_1}$ равноугольный, а поэтому и равносторонний. $AC=CA_1=\frac{1}{2}AA_1=\frac{1}{2}AB$.

Следствие 3

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$.

Следствие 4

В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен $60^{\circ}$.

Следствие 5

В равностороннем треугольнике каждый угол равен $60^{\circ}$.

Следствие 6

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то и третьи иглы таких треугольников равны между собой.