Элементарная математика. Геометрия.

Планиметрия

3. Параллельные прямые

3.6. Сумма углов многоугольника

Определение

Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника, называется его диагональю.

Определение

Многоугольник называется выпуклым, если ни одна из прямых, полученных неограниченным продолжением каждой его стороны, не рассекает его на части.

Многоугольник на рисунке ниже не является выпуклым: каждая из прямых $FC$ и $HC$ рассекает многоугольник $FCHKL$ на две части. В школе изучают свойства только выпуклых многоугольников.

Теорема

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника, имеющего $n$ сторон, равна $180^\circ (n-2)$.

Доказательство:

Если какую-то точку $( O )$ внутри выпуклого многоугольника соединить со всеми вершинами, то получится столько же треугольников, сколько сторон у многоугольника $( n )$. Сумма внутренних углов всех $n$ треугольников равна $180^\circ n$, а сумма углов данного многоугольника меньше на $360^\circ$ (полный угол при вершине $O$) и равна $180^\circ n-360^\circ = 180^\circ ( n-2 )$.

Теорема

Сумма внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой его вершине, равна $360^\circ$.

Доказательство:

Каждый внешний угол многоугольника вместе со смежным внутренним составляет $180^\circ$ (например, углы при вершине $E$). Таких пар углов будет $n$, поэтому сумма всех внутренних углов и внешних (взятых по одному при каждой вершине) составляет $180^\circ n$. Вычтя из нее сумму внутренних углов, получим искомую сумму внешних углов: $180^\circ n-180^\circ (n-2) = 180^\circ n - 180^\circ n + 360^\circ = 360^\circ$ (она не зависит от числа сторон $n$).