Элементарная математика. Геометрия.

Планиметрия

7. Окружность и круг

7.2. Диаметр, перпендикулярный к хорде. Дуги между параллельными хордами

Теорема 1

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые её дуги пополам.
Дано: $CD\bot AB$.
Требуется доказать: $AF=FB$, $\smile AD=\smile DB$, $\smile AC=\smile CB$.

Для доказательства надо рассмотреть равнобедренный $\triangle AOB$ с высотой $OF$.

Теорема доказана

Теорема 2

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к ней и делит стягиваемые ею дуги пополам.

Доказательство:

Доказать самостоятельно.

Теорема 3

Диаметр, проходящий через середину дуги, перпендикулярен к стягивающей ее хорде и делит её пополам.

Доказательство:

Доказать самостоятельно.

Ученик

Скажите, равны ли дуги, заключенные между параллельными хордами?

Учитель

Да, так как есть теорема, подтверждающая это.

Теорема 4

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.
Дано: $MN\parallel AB$.
Требуется доказать: $\smile AM=\smile BN$.

Доказательство:

Проведем диаметр $CD$ , перпендикулярный хорде $AB$ . Тогда $CD\bot MN$, $AF=FB$ и $ME=EN$. При перегибании чертежа по $CD$ полуокружности совместятся. Совпадут точки $M$ с $N$ и $A$ с $B$, поэтому совместятся дуги: $\smile AM=\smile BN$.

Теорема доказана.