Элементарная математика. Геометрия.

Планиметрия

7. Окружность и круг

7.1. Окружность. Центральные углы. Зависимость между дугами и хордами

Учитель

Любую совокупность точек, линий, поверхностей и тел называют фигурой. А знаешь ли ты, какая фигура называется окружностью?

Ученик

Это геометрическая фигура, у которой есть центр?

Учитель

Давай разберемся в этом.

Определение

Кривая замкнутая линия на плоскости, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называется окружностью.

Определение

Точку, от которой одинаково удалены все точки окружности, называют ее центром ($O$).

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

Определение

Отрезок, соединяющий точку окружности с центром, называют радиусом($OA$).

Определение

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой($CD$).

Определение

Хорду, проходящую через центр, называют диаметром($AG$). Диаметр равен двум радиусам.

Учитель

Скажи, а сможешь ли ты доказать, что любая хорда не проходящая через центр, меньше диаметра?

Ученик

Да, так как если соединим концы любой хорды ($AB$), не проходящей через центр, с центром, то ($AB$) меньше двух радиусов.

Учитель

Правильно. Тогда продолжим.

Определение

Часть окружности называется дугой ($\smile AC$). Дугу $\smile CD$ стягивает хорда $CD$.

Определение

Часть круга, заключенная между двумя радиусами, называется сектором. Часть круга, заключенная между дугой и стягивающей ее хордой, называется сегментом.

Учитель

Как ты думаешь, какие два круга (две окружности или две дуги) называются равными?

Ученик

Наверное, если их можно наложить так, чтобы они совместились.

Учитель

Ты абсолютно прав.Теперь можно поговорить про окружность и углы, связанные с ней.

Определение

Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным углом.

Ученик

А связаны ли между собой центральные углы и дуги?

Учитель

Да, давай сформулируем теорему.

Теорема 1

В одном круге или в равных кругах равным центральным углам соответствуют равные дуги и равным дугам соответствуют равные центральные углы.

Доказательство:

Для доказательства первой части теоремы совместим равные центральные углы, повернув один из них вокруг центра. При наложении углов совместятся концы дуг и сами дуги. Во втором случае совмещаем равные дуги.

Теорема доказана.

Учитель

Зависимость между дугами и стягивающими их хордами выражается следующими теоремами.

Теорема 2

В одном круге или в равных кругах равные дуги стягиваются равными хордами.

Доказательство:

Теорема доказывается с использованием признаков равенства треугольников и предыдущей теоремы.

Теорема доказана.

Теорема 3

В одном круге или в равных кругах равные хорды стягивают равные дуги.

Доказательство:

Теорема доказывается с использованием признаков равенства треугольников и теоремы 1.

Теорема доказана.

Теорема 4

В одном круге или в равных кругах из двух неравных дуг, меньших полуокружности, большая дуга стягивается большей хордой.
Дано: $\smile AB \gt \smile CD$.
Требуется доказать: хорда $AB$ больше хорды $CD$.

Доказательство:

Отложим хорду $AF$, равную $CD$ . Тогда $\smile AF = \smile CD$ и $\smile AB \gt \smile AF$.Проведем биссектрису $OE$ угла $FOB$ и соединим $F$ с $E$. $\Delta FOE=\Delta BOE$ и в них $FE=BE$. $AE+EF\gt AF$. Заменим $EF$ равным отрезком $BE$. $AE+BE\gt AF$. Заменим $AE+BE$ отрезком $AB$. Так как $AF=CD$, то $AB\gt CD$.

Теорема доказана.

Теорема 5

В одном круге или в равных кругах большая хорда стягивает большую дугу.
Дано: $AB \gt CD$.
Требуется доказать: $\smile AB \gt \smile CD$.

Доказательство:

Между двумя дугами обязательно будет верно только одно из трех соотношений: а) $\smile AB \lt \smile CD$, что невозможно; б) $\smile AB = \smile CD$, что также невозможно; в) $\smile AB \gt\smile CD$ верно.

Теорема доказана.