Теоретические материалы: Измерение центральных и вписаных углов

Планиметрия

7. Окружность и круг

7.4. Измерение центральных и вписанных углов

Определение

Дуговым градусом называется $\frac{1}{360}$ часть окружности.

Определение

Центральный угол, соответствующий дуговому градусу, называется угловым градусом (т. е. $\frac{1}{360}$ часть полного угла называется угловым градусом) .

Определение

$\frac{1}{60}$ часть градуса называется минутой, а $\frac{1}{60}$ часть минуты называется секундой (это относится как к дуговым, так и к угловым градусам, минутам и секундам).

Ученик

Это означает, что центральный угол измеряется соответствующей ему дугой?

Учитель

Да.

Определение

Угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки окружности, называется вписанным углом. Он опирается на дугу, заключенную между его сторонами.

Теорема

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (т. е. содержит столько угловых градусов, минут и секунд, сколько дуговых градусов, минут и секунд содержит половина указанной дуги).

Доказательство:

Дан вписанный угол $\angle ABC$ , опирающийся на дугу $AC$ . Стороны вписанного угла могут быть расположены относительно центра окружности лишь следующим образом (три случая).

1) Одна из сторон ( $AB$ ) вписанного угла является диаметром. Соединим $O$ с $C$ . $\angle AOC= \angle B+\angle C$ . Но $\angle B=\angle C$ , поэтому $\angle AOC=2\angle B$ или $\angle B=\frac{1}{2}\angle AOC$ . Так как $\angle AOC$ измеряется дугой $AC$ , то $\angle ABC$ измеряется половиной дуги $AC$ .

2) Центр окружности находится внутри угла. Через вершину $B$ проведем диаметр $BD$ . По доказанному случаю 1 имеем: $\angle ABD$ измеряется $1/2\smile AD$ и $\angle DBC$ измеряется $1/2\smile DC$ . Так как $\angle ABD+\angle DBC=\angle ABC$ и $1/2\smile AD+1/2\smile DC=1/2(\smile AD+\smile DC)=1/2\smile AC$ , то $\angle ABC$ измеряется $1/2\smile AC$ .