Планиметрия

7. Окружность и круг


7.5. Другие углы, связанные с окружностью

Теорема 1

Угол, образованный хордой и касательной, проходящей через конец хорды, измеряется половиной дуги, заключенной внутри него.
Дано: CD — касательная к окружности, A — точка касания, AB — хорда.
Требуется доказать: \angle CAB измеряется половиной \smile AB.

Доказательство:

Для доказательства проведем хорду BF\parallel CD, тогда \smile AB = \smile AF. \angle 2=\angle 1. \angle 2 измеряется 1/2\smile AF или 1/2\smile AB, поэтому и \angle 1 измеряется 1/2\smile AB.

Теорема доказана.

Теорема 2

Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг, заключенных между его сторонами и их продолжениями.

Теорема 3

Угол с вершиной вне круга и сторонами, которые являются секущими, измеряется полуразностью двух дуг, заключенных между его сторонами.


Учитель

Эти теоремы нужно доказать самостоятельно.