Теоретические материалы: Длина окружности и дуги

Планиметрия

7. Окружность и круг

7.7. Длина окружности и дуги

Учитель

Впишем в окружность правильный $n$ - угольник, пусть его периметр равен $P_1$ . Удвоим число его сторон, т. е. впишем в ту же окружность правильный многоугольник с числом сторон в $2$ раза большим и периметром $P_2$ . На рисунке удвоение сторон показано на примере стороны $BC$ . При переходе от первого многоугольника ко второму каждая сторона ( $BC$ ) заменяется суммой двух ( $BF$ и $FC$ ) хотя и меньших сторон, но $BF+FC\gt BC$ , поэтому $P_2\gt P_1$ . Продолжая неограниченно процесс удвоения числа сторон, получим бесконечную возрастающую числовую последовательность периметров правильных вписанных в окружность многоугольников с общим членом $P_n$ : $P_1,P_2,...,P_n,..$ . Нетрудно представить себе, что при каждом новом удвоении числа сторон приращение периметра будет все меньшим и меньшим, т.е. величина этого приращения стремится к нулю, а поэтому сам периметр $P_n$ при неограниченном увеличении $n$ стремится к некоторому постоянному числу — пределу.

$AE\lt MN$ т.е. сторона правильного вписанного многоугольника меньше стороны правильного описанного около той же окружности одноименного многоугольника, поэтому, как бы ни было велико число сторон, периметр первого меньше периметра второго, т.е. наша последовательность $P_n$ ограничена сверху. Но бесконечная возрастающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел. Итак, мы пришли к выводу о существовании предела последовательности $P_1,P_2,...,P_n,...$

Определение

Длиной окружности называется предел периметров $P_n$ правильных вписанных многоугольников при бесконечном удвоении числа их сторон: $C=\ds{\lim_{n\to\infty}}P_n$ .

Теорема 1

Отношение длины окружности к её диаметру постоянно для всех окружностей.

Доказательство:

Возьмем две какие-нибудь окружности $O$ и $O_1$ и впишем в них одноименные правильные многоугольники $ABCDE$ и $A_1B_1C_1D_1E_1$ . Их периметры относятся как радиусы: $\frac{P}{P_1}=\frac{R}{R_1}$ , откуда $\frac{P}{R}=\frac{P_1}{R_1}$ , $\frac{P}{2R}=\frac{P_1}{2R_1}$ . Обозначим длины окружностей через $C$ и $C_1$ . Применим теоремы о пределах: $\lim\frac{P}{2R}=\lim\frac{P_1}{2R_1}$ ; $\frac{\lim P}{\lim(2R)}=\frac{\lim P_1}{\lim (2R_1)}$ . Так как при бесконечном удвоении числа сторон $\lim P = C$ и $\lim P_1=C_1$ (по определению длины окружности), а для $R$ и $R_1$ , остающихся в этом процессе удвоения постоянными, $\lim(2R)=2R$ и $\lim(2R_1)=2R_1$ , то получим: $\frac{C}{2R}=\frac{C_1}{2R_1}$ — что и требовалось доказать.

Учитель

Обозначив постоянное для всех окружностей отношение $\frac{C}{2R}$ через $\pi$ , т. е. $\frac{C}{2R}=\pi$ , получили формулу длины окружности: $C=2\pi R$ или $C=\pi D$ , где $R$ и $D$ — радиус и диаметр окружности.