Теоретические материалы: Площадь круга и его частей

Планиметрия

7. Окружность и круг

7.8. Площадь круга и его частей

Учитель

Представь, что у тебя день рождения. И нужно разрезать торт на равные по площади кусочки. Что ты будешь делать?

Ученик

Можно посчитать площадь всего торта, а затем разделить на равные кусочки.

Определение

Площадью круга называется предел площадей правильных вписанных многоугольников при бесконечном удвоении числа их сторон.

Учитель

Можно показать, что такой предел существует, аналогично тому, как это было показано для длины окружности. Понятие площади любой фигуры, содержащей кривую линию в своем контуре (плоского сектора или сегмента, эллипса, фигуры под дугой параболы или гиперболы) вводится с помощью предела потому, что такую фигуру невозможно точно накрыть квадратами, принятыми за единицы площади, а также невозможно преобразовать ее в такой многоугольник, для которого указанное покрытие возможно.

Теорема 1

Площадь круга радиуса $R$ равна $\pi R^2$ .

Доказательство:

Площадь правильного вписанного $n$ -угольника $S_n =\frac{P_n}{2} r_n$ , где $r_n$ и $P_n$ — его апофема и периметр. Перейдем к пределам в обеих частях равенства при $n\to\infty$ и применим теоремы о пределах, а также доказанную формулу длины окружности: $\ds{\lim_{n\to\infty}}S_n =\ds{\lim_{n\to\infty}}(\frac{P_n}{2} r_n)$ ; $\ds{\lim_{n\to\infty}}S_n =\frac{\ds{\lim_{n\to\infty}} P_n}{2} \ds{\lim_{n\to\infty}} r_n$ ; $\ds{\lim_{n\to\infty}}S_n =\frac{C}{2}R=\frac{2\pi R}{2}R=\pi R^2$ . Но согласно определению $\ds{\lim_{n\to\infty}}S_n$ есть площадь круга, которую обозначим через $Q$ . Итак, $Q=\pi R^2$ .