Элементарная математика. Геометрия.

Планиметрия

7. Окружность и круг

7.3. Касательная к окружности

Учитель

Прямая может быть удалена от центра окружности на расстояние, меньшее радиуса ($OE$), равное радиусу ($OF$) или большее радиуса ($OG>OF$).

Определение

Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей (секущая $CD$ имеет общие с окружностью точки $H$ и $L$).

Определение

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной, а их общая точка — точкой касания (касательная $AB$ и окружность имеют только одну общую точку $F$).

Теорема 1

Перпендикуляр к радиусу в его конце, лежащем на окружности, является касательной к этой окружности.
Дано: $AB\per OF$.
Требуется доказать: $AB$ — касательная.

Доказательство:

$F$ — общая точка прямой и окружности, основание перпендикуляра $OF$ к прямой $AB$. Отрезок, соединяющий всякую другую, кроме $F$, точку прямой $AB$ с центром $O$ будет наклонной к $AB$. Следовательно, все другие, кроме $F$, точки прямой $AB$ удалены от $O$ на расстояние, большее $OF$ и поэтому не лежат на данной окружности. Итак, $F$ — единственная общая точка прямой и окружности, $AB$ — касательная к окружности.

Теорема доказана.

Теорема 2

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Дано: $AB$— касательная, $F$ — точка касания.
Требуется доказать: $AB\bot OF$.

Доказательство:

Все другие, кроме $F$, точки касательной не лежат на окружности (по определению) и поэтому удалены от $O$ больше, чем на радиус $OF$. Следовательно, $OF$ — кратчайшее расстояние от $O$ до $AB$, поэтому $OF\bot AB$.

Теорема доказана.

Ученик

Какой вывод можно сделать?

Учитель

Напрашивается следующее следствие.

Следствие

Если касательная параллельна хорде, то точка касания делит дугу, стягиваемую хордой, пополам.