Теоретические материалы: Пропорциональные отрезки в круге

Планиметрия

7. Окружность и круг

7.6. Пропорциональные отрезки в круге

Теорема 1

Если через точку, лежащую внутри круга, проведены диаметр и хорда, то произведение отрезков хорды равно произведению отрезков диаметра. Требуется доказать: $AD \cdot AE = AB \cdot AC$ .

Доказательство:

$\angle BAD= \angle CAE$ как вертикальные, $\angle DBC= \angle CED$ как вписанные. $\triangle ABD \sim \triangle ACE$ и их сходственные стороны пропорциональны: $\frac {AD} {AB} = \frac {AC } { AE }$ , откуда $AD \cdot AE = AB \cdot AC$ .

Теорема доказана.

Следствие 1

Для всех хорд, проходящих через данную точку внутри круга, произведение отрезков постоянно ( $AD \cdot AE=AF \cdot AG=AB \cdot AC$ ).

Теорема 2

Если из точки, лежащей вне круга, проведены секущая и касательная, то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.
Дано: окружность, $PM$ и $PT$ — секущая и касательная. Требуется доказать: $PM \cdot PN=PT^2$ .

Доказательство:

$\triangle MTP \sim \triangle TNP$ ( $\angle P$ — общий и $\angle TMN =\angle NTP$ , так как каждый из них измеряется $\frac { 1 } { 2 } \smile TN$ ). Против их равных углов лежат пары сходственных сторон: $PM$ и $PT$ , $PT$ и $PN$ : $\frac {PM} {PT} = \frac {PT} {PN}$ , откуда $PM \cdot PN = PT^2$ .

Следствие 2

Для всех секущих, проходящих через данную точку вне круга, произведение секущей на ее внешнюю часть постоянно ( $PM \cdot PN=PS \cdot PB=PT^2$ ).

Теорема 3

Если из точки $C$ окружности опущен перпендикуляр на диаметр, то перпендикуляр является средним пропорциональным между отрезками диаметра.
Дано: $CD \bot AB$ .
Требуется доказать: $CD^2=AD \cdot BD$ .

Теорема 4

Если из точки $C$ окружности опущен перпендикуляр на диаметр, то хорда, соединяющая точку С с концом диаметра, есть среднее пропорциональное между диаметром и проекцией хорды на диаметр.
Дано: $CD \bot AB$ .
Требуется доказать: $AC^2=AB \cdot AD$ , $CB^2=AB\cdot BD$ .

Доказательство:
Теоремы 3 и 4 являются следствиями теорем о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.