Теоретические материалы: Касательная плоскость и касательная прямая к сфере

Стереометрия

Глава 12. Шар

12.2. Касательная плоскость и касательная прямая к сфере

Определение 1

Плоскость, имеющая с шаровой поверхностью лишь одну общую точку, называется касательной плоскостью, а общая точка — точка касания.

Теорема 1

Плоскость $\alpha$ , проведенная через конец $T$ радиуса, лежащий на сфере, перпендикулярно радиусу $OT$ есть касательная плоскость.
Дано: $\alpha \perp OT$ и $T \in \alpha$ .
Требуется доказать: $\alpha$ — касательная плоскость.

Доказательство:

Возьмем произвольную отличную от $T$ точку $M \in \alpha$ , тогда $OM > OT$ . Следовательно, все другие, кроме $T$ , точки плоскости $\alpha$ не лежат на сфере и $\alpha$ — касательная плоскость.

Теорема 2(обратная)

Касательная к сфере плоскость перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Дано: Плоскость $\alpha$ касается сферы в точке $T$ .
Требуется доказать: $\alpha \perp OT$ .

Доказательство:

Так как $\alpha$ — касательная плоскость, то только одна её точка $T$ лежит на сфере, поэтому для всякой другой точки $M \in \alpha$ имеем: $OM > OT$ . Кратчайшее расстояние от точки $O$ до плоскости $\alpha$ есть перпендикуляр: $OT \perp \alpha$ , или $\alpha \perp OT$ .

Определение 2

Прямая, лежащая в касательной плоскости к сфере и проходящая через точку касания, называется касательной (прямой) к сфере.

Из определения следует, что:

1) Касательная прямая и сфера имеют только одну общую точку;
2) касательная прямая перпендикулярна к радиусу сферы, проведенному в точку касания.

Теорема 3

Касательные к сфере, проведенные из внешней точки, равны.

При доказательстве использовать равенство прямоугольных треугольников, имеющих общую гипотенузу и по равному катету.