Стереометрия

Глава 12. Шар

12.1. Сфера и шар. Их сечения

Определение 1

Геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от одной и той же точки(центра), называется сферой, или шаровой поверхностью.

Определение 2

Геометрическое тело, ограниченное шаровой поверхностью, называется шаром.

Определение 3

Отрезок, соединяющий центр с точкой сферы, называется ее радиусом.

Определение 4

Отрезок, соединяющий две точки сферы, называется хордой сферы.

Хорда, проходящая через центр, называется диаметром сферы.

Диаметр сферы равен двум ее радиусам.
Сфера образуется полуокружностью, вращающейся вокруг ее диаметра. Центр и радиус этой полуокружности служат центром и радиусом сферы.

Теорема 1

Сечение сферы плоскостью есть окружность.

Доказательство:

Если секущая плоскость проходит через центр сферы, то точки сферы, лежащие в этой плоскости, удалены от центра на радиус сферы, т.е. образуют окружность центр которой совпадает с центром сферы и радиус равен радиусу сферы.
Если секущая плоскость не проходит через центр сферы, то опустим из центра на эту плоскость перпендикуляр OK и соединим какую-нибудь точку M на линии пересечения сферы и плоскости с точками O и K. Тогда OK \perp KM (cм. определение ) и по теореме Пифагора получим:
MK = \sqrt{OM^2 -OK^2}.
Радиус шара OM и расстояние OK не изменяются при перемещении точки M по линии пересечения сферы с плоскостью, поэтому все точки этой линии удалены от K на постоянное расстояние MK, т.е. лежат на окружности с центром в точке K и радиусом KM.\fbox{\times}

Следствие 1

Радиус окружности, полученной при пересечении сферы радиуса R плоскостью, удаленной от центра сферы на d, равен \sqrt{R^2 - d^2}

Следствие 2

Наибольшее сечение сферы получаем при d=0 и его радиус r=\sqrt{R^2-0}=\sqrt{R^2}=R, т.е. равен радиусу сферы.

Сечение шара, проходящее через центр, называется большим кругом, не проходящее — малым кругом.

Следствие 3

Центр большого круга совпадает с центром шара, а центр малого круга является основанием перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость этого круга.

Следствие 4

Сечения, равноотстоящие от центра, равны.

Следствие 5

При удалении плоскости сечения от центра сферы радиус сферы уменьшается.

Определение 4

Две точки A и A' называются симметричными относительно плоскости \alpha, если эта плоскость проходит через середину отрезка AA' и перпендикулярна к нему.

Определение 5

Две фигуры называются симметричными относительно плоскости, если каждой точке одной из этих фигур соответствует симметричная относительно этой плоскости точка второй фигуры и обратно — каждой точке второй фигуры соответствует симметричная точка первой.

Теорема 2

Плоскость, проходящая через центр шара, делит его поверхность на две симметричные относительно этой плоскости и равные части.

Теорема 3

Через две точки сферы, не лежащие на одном диаметре, можно провести окружность большого круга и только одну.

Теорема 4

Окружности двух больших кругов при пересечении делятся пополам.