Стереометрия

Глава 12. Шар

12.4. Поверхность шарового пояса

Определение 1

Правильной ломаной, вписанной в дугу окружности, называется такая ломаная, концы которой совпадают с концами дуги, вершины ее углов лежат на дуге и все отрезки(стороны) ломаной равны.

Отрезок, соединяющий центр этой окружности с серединой любой стороны правильной вписанной ломаной, называется ее апофемой.

Определение 2

Площадью поверхности, образуемой вращением полуокружности (или какой-нибудь ее части) вокруг диаметра, называется предел, к которому стремится поверхность, образуемая вращением вокруг того же диаметра правильной n-сторонней вписанной ломаной линии, при бесконечном увеличении n.

Это определение относится к поверхности шара, шарового пояса и к сегментной поверхности.

Лемма 1

Площадь поверхности, образованной вращением правильной вписанной в дугу окружности ломаной линии ABCD (см. рис.) вокруг диаметра, не пересекающего ломаной, равна произведению длины окружности, радиус которой равен апофеме OM ломаной, на проекцию A_1D_1 этой ломаной на ось вращения l.

Доказательство:

Пусть BC\parallel l, тогда отрезок BC, вращаясь вокруг оси l, опишет боковую поверхность цилиндра, которая равна 2\pi r BC = 2\pi r B_1C_1, т.к. BC=B_1C_1.

AB при вращении опишет боковую поверхность усеченного конуса S_{AB} =2\pi MN \cdot AB, где MN — радиус среднего сечения усеченного конуса. Проведем AK\perp BB_1 и соединим центр O c M. Прямоугольные треугольники \triangle ABK и \triangle MON подобны ( \angle ABK = \angle MON), поэтому \frac{MN}{AK}= \frac {OM}{AB}; MN \cdot AB = AK \cdot OM. Получим, заменив MN \cdot AB на AK \cdot OM, что S_{AB} =2\pi MO \cdot AK =2\pi r \cdot A_1B_1.

Аналогично получим: S_{CD} =2\pi r \cdot C_1D_1.

S_{ABCD} =2\pi r ( A_1B_1+B_1C_1+C_1D_1) = 2\pi r \cdot A_1D_1.

Теорема 1

Поверхность Sш.п. шарового пояса равна произведению длины окружности 2 \pi R большого круга на высоту пояса H:
Sш.п. = 2 \pi RH.

Доказательство:

Впишем в дугу AB окружности ломаную линию. Тогда, согласно лемме, поверхность, образованная вращением этой ломаной, S_n= 2 \pi a_n H, где a_n — апофема ломаной, H=GF — высота пояса. Бесконечно увеличивая n, перейдем к пределам:
\lim_{n \to \infty} \left( S_n \right) = \lim_{n \to \infty} \left (2 \pi a_n H\right). При этом высота H постоянна.
\lim_{n\to \infty} \left( S_n \right) =2 \pi H \lim_{n \to \infty} \left ( a_n \right). Но \lim_{n \to \infty} \left ( a_n \right) = R (R — радиус дуги). По определению \lim_{n \to \infty} \left( S_n \right) = Sш.п. Итак, Sш.п. = 2 \pi RH. \fbox{\times}