Стереометрия

Глава 12. Шар

12.5. Сегментная поверхность

Теорема 1

Сегментная поверхность Sc равна произведению ее высоты H на длину окружности 2 \pi R большого круга:
Sc = 2 \pi RH .

Доказательство:

В дугу, один конец которой лежит на диаметре(оси вращения), впишем правильную ломаную ACDEF; вращая дугу вместе с ломаной, получаем, согласно лемме, поверхность
S = 2 \pi a_n H,

где a_n — апофема ломаной и H — высота сегментной поверхности, образованной вращающейся дугой. Перейдя к пределам, получим

\lim_{n \to \infty} \left( S_n \right) =2 \pi H \lim_{n \to \infty} \left ( a_n \right) или Sc = 2 \pi RH. \fbox{\times}