Стереометрия

Глава 12. Шар

12.7. Объем шарового сектора

Определение

Объемом шарового сектора, полученного вращением вокруг диаметра EF кругового сектор AOD, называется предел, к которому стремится объем тела, образованного вращением n-угольного сектора, который ограничен крайними радиусами OA и OD и правильной ломаной линией ABCD, вписанной в дугу кругового сектора, при бесконечном увеличении n.

Аналогично (через предел) дается определение объема шара, но правильная ломаная многоугольного сектора вписывается в этом случае в полуокружность, которая при вращении образует поверхность шара.

Лемма

Если \bigtriangleup ABC вращается вокруг оси l, которая лежит в плоскости треугольника, проходит через его вершину A, но не пересекает стороны BC, то объем полученного тела вращения равен произведению поверхности, образуемой стороной BC, на \frac{1}{3} высоты h, опущенной на эту сторону.

Теорема

Объем шарового сектора равен произведению поверхности соответствующего шарового пояса (или сегментной поверхности) на \frac{1}{3} радиуса.

Доказательство:

Пусть шаровой сектор образуется вращением вокруг диаметра EF сектора AOD.

Впишем в дугу AD правильную ломаную ABCD из n сторон. Многоугольный сектор OABCD образует при вращении тело с объемом V_n, равным сумме объемов тел, полученных вращением треугольников OAB, OBC, OCD вокруг EF.
Применим к этим треугольникам лемму, причем высота каждого треугольника равна апофеме a_n (S_{AB} — поверхность, образованная при вращении стороной AB и т. д.):
V_n = S_{AB} \frac{a_n}{3}+S_{BC} \frac{a_n}{3}+ S_{CD} \frac{a_n}{3} = S_{ADCD} \frac{a_n}{3}.
Перейдем к пределам при n \to \infty

\lim_{n\to \infty}{V_n} =\lim_{n \to \infty}{S_{ABCD}} \cdot \lim_{n \to \infty}{\frac{a_n}{3}}
\lim_{n \to \infty}{V_n} = Vш.сект. — объему шарового сектора, \lim_{n \to \infty}{S_n} = S — сферической поверхности шарового сектора и
\lim_{n \to \infty}{\frac{a_n}{3}} = \frac{1}{3} \lim_{n \to \infty}{a_n} = \frac{1}{3} R, где R — радиус шара. Следовательно,
Vш.сект = S\cdot\frac{1}{3} R.

\fbox{\times}

Следствие

Объем шарового сектора
Vш.сект. = \frac{2}{3} \pi R^2 H (заменили S= 2 \pi RH), где R — радиус шара и H — высота шарового пояса ( или сегментной поверхности).