Стереометрия

Глава 12. Шар

12.8. Объем шара

Теорема

Объем шара равен произведению его поверхности на \frac{1}{3} радиуса.

Доказательство:

Эту теорему можно доказать аналогично тому, как была доказана теорема об объеме шарового сектора (опираясь на лемму и определение объема шара как предела).
Но докажем ее, основываясь на теореме об объеме шарового сектора. Разбив полукруг, образующий при вращении шар, на три сектора AOB, BOC и COD, получим, что объем Vш равен сумме объемов V_{AOB}, V_{BOC} и V_{COD} трех шаровых секторов. Обозначив поверхности, образованные при вращении дугами AB, BC и CD, через S_{AB}, S_{BC} и S_{CD}, а поверхность шара через Sш, получим
Vш = V_{AOB}+V_{BOC} +V_{COD} =S_{AB}\frac{1}{3} R+S_{BC}\frac{1}{3} R+S_{CD}\frac{1}{3} R = (S_{AB}+S_{BC}+S_{CD})\frac{1}{3} R=Sш\frac{1}{3} R. \fbox{\times}

Следствие 1

Объем шара равен
Vш =\frac{4}{3} \pi R^3
(заменили Sш =4 \pi R^2), где R — радиус шара.

Следствие 2

Объемы двух шаров относятся, как кубы их радиусов:

\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi R_1^3}{\frac{4}{3} \pi R_2^3}=\frac{R_1^3}{R_2^3}.