Элементарная математика. Геометрия.

Стереометрия

Глава 12. Шар

12.10. Задачи на комбинации тел с шаром

Задача

В шар радиуса $R$ вписана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания $a$ ($a < \sqrt{2} R$).

Описание чертежа: Выясним, проходит ли плоскость основания пирамиды через центр шара. Пирамида правильная и основание ее — квадрат. Если бы плоскость квадрата проходила через центр шара, то квадрат был бы вписан в большой круг и его сторона была бы равна $R \sqrt{2}$, где $R$ — радиус шара. Но по условию $a$. Пусть в шар вписана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$. Из определения правильной пирамиды следует, что основание $ABCD$ — квадрат, центром которого является точка $O_1$ пересечения его диагоналей, и $SO_1$ — высота пирамиды. Докажем, что $SO_1$ лежит на диаметре шара. Плоскость $\alpha$ основания пирамиды пересекает сферу по окружности, описанной около квадрата $ABCD$, и центр этой окружности совпадает с центром $O_1$ квадрата. Но центр $O_1$ малого круга является основанием перпендикуляра, опущенного из центра $O$ шара на плоскость $\alpha$ этого круга, следовательно $OO_1 \perp \alpha$. Но $SO_1 \perp \alpha$ (как высота пирамиды), поэтому $OO_1$ лежит на $SO_1$ (через данную точку $O_1$ можно провести только один перпендикуляр к данной плоскости $\alpha$), т.е. высота правильной вписанной пирамиды лежит на диаметре шара($SF$ — вертикальный диаметр шара).
$OS=R$, $AB=a$.
Определить объем $V$ пирамиды $SABCD$.

Решение:
$V$_п$= \frac{1}{3}QH$; $Q=a^2$; $H=SO_1=?$
$SO_1 \perp \alpha$, поэтому $SO_{1} \perp O_{1}A$. $\angle SAF$ — вписанный в большой круг шара и опирается на диаметр $SF$, а поэтому прямой.

Высота $AO_1$, опущенная на гипотенузу $SF$, есть среднее геометрическое отрезков гипотенузы $SO_1$ и $O_{1}F$:
$AO_{1}^{2} = SO_{1} \cdot O_{1}F$.
$SF=2R$, $SO_{1}=H$, $O_{1}F=2R-H$. $AO_1$ — радиус квадрата $ABCD$. $AB=AO_{1} \sqrt{2}$, $a=AO_{1} \sqrt{2}$, откуда $AO_{1}= \frac{a}{\sqrt{2}}$.
Заменим $AO_1$, $SO_1$ и $O_{1}F$ их значениями:
$\frac{a^2}{2} =H(2R-H)$.
$H^2-2RH+ \frac{a^2}{2}=0$.
Решаем приведенное квадратное уравнение относительно неизвестного $H$:

$H=R\pm \sqrt{R^2-\frac{a^2}{2}}$;

$H_1=R+\sqrt{R^2-\frac{a^2}{2}}$, $H_2=R-\sqrt{R^2-\frac{a^2}{2}}$.

Исследуем полученные значения высоты пирамиды. По условию
$a\gt 0$, $R\gt 0$ и $a \lt R\sqrt{2}$,
откуда
$R>\frac{a}{\sqrt{2}}$ и $R^2>\frac{a^2}{2}$, т.е. $R^2-\frac{a^2}{2}>0$

и действительные значения $\sqrt{R^2-\frac{a^2}{2}}$ существуют. $H_{1}>0$; $H_2$? Поскольку
$R^2-\frac{a^2}{2}\lt R^2$,
то
$\sqrt{R^2-\frac{a^2}{2}}\lt R$ и $H_{2}>0$.
Итак, оба значения высоты положительны и удовлетворяют условию задачи, т.е. на данном основании $ABCD$ можно построить две правильные четырехугольные пирамиды, вписанные в данный шар радиуса $R$: одну $SABCD$ с большей высотой $SO_{1}=H_1$ и вторую $FABCD$ (вершиной вниз) с меньшей высотой $FO_{1}=H_2$. Если это так, то $H_{1}+H_{2}=2R$. Убедимся в этом:

$R+\sqrt{R^2-\frac{a^2}{2}}+R-\sqrt{R^2-\frac{a^2}{2}}=2R$.

Задача имеет два ответа:

$V_{1}=\frac{1}{3}a^2(R+\sqrt{R^2-\frac{a^2}{2}})=$ $\frac{a^2}{3}(R+\sqrt{\frac {2R^2-a^2}{2}})=$ $\frac{a^2}{3}(R+\frac{\sqrt{2(2R^2-a^2)}}{2})=$ $\frac{a^2}{3}(\frac{2R+\sqrt{2(2R^2-a^2)}}{2})=$ $\frac{1}{6}a^2(2R+\sqrt{2(2R^2-a^2)})$.
$V_{2}=\frac{1}{6}a^2(2R-\sqrt{2(2R^2-a^2)})$.

Ответ:

$V_{1}=\frac{1}{6}a^2(2R+\sqrt{2(2R^2-a^2)})$

$V_{2}=\frac{1}{6}a^2(2R-\sqrt{2(2R^2-a^2)})$