Элементарная математика. Геометрия.

Задача 138.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $c$, а один из острых углов равен $30^{\circ}$. Найдите радиус окружности с центром в вершине угла $30^{\circ}$, делящий данный треугольник на две равновеликие части.

Решение:

Рассмотрим нашу окружность. Зная градусную меру центрального угла найдём площадь сектора. $S_{cek}=\frac {\pi R^2}{360}\cdot 30=\frac {\pi R^2}{12}$. Далее рассмотрим треугольник $ABC$. Из условий нам известно, что длина гипотенузы равна $c$. Также нам известно, что длина катета, лежащего против угла в $30^{\circ}$ равна половине гипотенузы, т.е $b=\frac {c}{2}$. Зная длину гипотенузы и длину катета, можем узнать площадь нашего треугольника $S_{\triangle}=\frac {1}{2}\frac{c}{2}c \sin 60^\circ=\frac {1}{2}\frac{c}{2}c \frac {\sqrt{3}}{2}=\frac {c^{2}\sqrt{3}}{8}$. Нам известно, что площади равновеликих фигур равны, а из условия нам известно, что окружность делит наш треугольник на две равновеликие фигуры, площади которых нам известны $\frac {c^{2}\sqrt{3}}{8}=\frac {\pi R^2}{12}$. Преобразовывая, находим $R^{2}=\frac {3c^{2}\sqrt{3}}{4\pi}$ и $R= \sqrt {\frac {3c^{2}\sqrt{3}}{4\pi}}=\frac {c}{2} \sqrt{\frac {3 \sqrt{3}}{\pi}}$.

Ответ:

$R=\frac {c}{2} \sqrt{\frac {3 \sqrt{3}}{\pi}}$.