Элементарная математика. Геометрия.

Задача

Дан полукруг с диаметром $AB$. Через середину полуокружности проведены две прямые, делящие полукруг на три равновеликие части. В каком отношении эти прямые делят диаметр $AB$?

Решение:

Обозначим середину полуокружности точкой $K$, а пересечения прямых с диаметром — точками $C$ и $D$. Тогда $CKD$ треугольник, площадь которого равна $\displaystyle \frac{1}{3}$ площади полукруга, или $\displaystyle \frac{1}{6}$ площади круга с диаметром $AB$.

Площадь $S$ — треугольника $CKD$ равна ${\displaystyle \frac{1}{2}}{\cdot}CD{\cdot}KO$, где $KO=R$ — высота.

Тогда ${\displaystyle \frac{1}{6}}{\cdot}{\pi}{\cdot}R^2={\displaystyle \frac{1}{2}}{CD}{\cdot}R$. Отсюда получаем  $CD={\pi}{\cdot}{\displaystyle \frac{R}{3}}$.

Диаметр равен $2R$, значит,

${AC}={R}-{\displaystyle \frac{{\pi}\cdot {R}}{6}}$, ${CD}={\pi}{\cdot}{\displaystyle \frac{R}{3}}$, $DB={R}-{\displaystyle \frac{{\pi}\cdot {R}}{6}}$.

Окончательно:

$AC:CD:DB=(R-\displaystyle \frac{\pi \cdot R}{6}):\displaystyle \frac{{\pi} \cdot R}{3} : (R-\displaystyle \frac{\pi \cdot R}{6}) =$ $(1-\displaystyle \frac{\pi}{6}) : \displaystyle \frac{\pi}{3} : (1-\displaystyle \frac{\pi}{6}) = (6-\pi) : 2\cdot \pi : (6-\pi)$.

Ответ:

$(6- \pi){:}{2 \cdot \pi}{:}(6- \pi)$.