Элементарная математика. Геометрия.

Задача 226

Дан параллелограмм $ABCD$ с острым углом $DAB$, равным $\alpha$, в котором $AB=a$, $AD=b$ $(a$. Пусть $K$ — основание перпендикуляра, опущенного из вершины $B$ на $AD$, а $M$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $K$ на продолжение стороны $CD$. Найдите площадь треугольника $BKM$.

Решение:

Для нахождения площади треугольника будем использовать формулу $\ds{S=\frac{BN\cdot KM}{2}}$.

Найдем высоту $BN$.

Треугольник $ABK$ — прямоугольный, так как $AB$ перпендикуляр по условию задачи. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе. То есть:

$\ds{\cos\alpha= \frac{AK}{AB}\Rightarrow AK=AB \cdot\cos\alpha\Rightarrow AK=a \cdot\cos\alpha}$.

Рассмотрим теперь треугольник $ANK$, для находжения нужной нам стороны $AN$.

$\ds{AN=AK \cdot\cos\alpha = a \cdot\cos^2\alpha}$.

Тогда $\ds{BN=AB - AN\Rightarrow BN=a - a\cdot\cos^2\alpha \Rightarrow BN=a \cdot\sin^2\alpha}$.

Нам нужно еще найти сторону $KM$.

Рассмотрим треугольник $KMD$ — прямоугольный, так как $KM$ перпендикуляр по условию задачи.

$\angle BAK=\angle ADM=\alpha$ (по свойству параллельных прямым и секущей).

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. То есть:

$\ds{\sin\alpha=\frac{KM}{KD}\Rightarrow KM=\sin\alpha\cdot KD}$.

$\ds{KD = AD - AK\Rightarrow KD=AD - a\cdot\cos\alpha\Rightarrow KD=b-a\cdot\cos\alpha}$

$\Rightarrow KM=\sin\alpha\cdot(b-a\cdot\cos\alpha)$.

Подставляем все, что мы нашли, в нашу формулу площади:

$\ds{S=\frac{a\cdot\sin^2\alpha\cdot \sin\alpha\cdot(b-a\cdot\cos\alpha)}{2}}=$ $\ds{ \frac{a\cdot\sin^3\alpha\cdot(b - a\cdot\cos\alpha)}{2}}$.

Ответ:

$\ds{ \frac{a\cdot\sin^3\alpha\cdot(b - a\cdot\cos\alpha)}{2}}$.