ЭМГеометрия: Задача (231)

Задача 231

В треугольнике $ABC$ известны сторона $BC=a$ , углы $A=\alpha$ и $B=\beta$ . Найти радиус окружности, пересекающей все его стороны и высекающей на каждой из них хорды длины $d$ .

Решение:

1. Центры данной окружности и вписанной в треугольник $ABC$ совпадают, т.к. равные хорды равноудалены от центра вписанной окружности. Для того, чтобы найти радиус данной окружности, для начала найдём радиус вписанной окружности.

2. Рассмотрим треугольник $ABC$ . Используя теорему синусов получим:

${\frac{a}{\sin{\alpha}}}={\frac{AC}{\sin{\beta}}}$ $\Rightarrow$ $AC=\frac{a sin{\beta}}{sin{\alpha}}$ .

Как известно, центром вписанной окружности является пересечение биссектрис углов треугольника.

3. Рассмотрим треугольники $AHO$ и $CHO$ , в которых $AO$ и $CO$ — биссектрисы, $O$ — точка пересечения биссектрис, т.е. центр вписанной окружности. Таким образом $OH$ — радиус вписанной окружности.

Из $\bigtriangleup AHO$ : $\tg {\frac{\alpha}{2}} = {\frac{OH}{AH}}$ $\Rightarrow$ $AH=\frac{OH}{\tg{\frac{\alpha}{2}}}$ .

Из $\bigtriangleup CHO$ : $\tg {\frac{\gamma}{2}} = {\frac{OH}{CH}}$ $\Rightarrow$ $CH=\frac{OH}{\tg{\frac{\gamma}{2}}}$ ;

где ${\gamma}={180-{\alpha}-{\beta}}$ $\Rightarrow$ ${\frac{\gamma}{2}}={90-{\frac{\alpha}{2}}-{\frac{\beta}{2}}}$ .

$AC=AH+HC$ ;

$\ds{AC=OH\left({\frac{1}{\tg{\frac{\alpha}{2}}}}+{\frac{1}{\tg{\frac{\gamma}{2}}}}\right)}$ $\ds{=OH\left({\ctg{\frac{\alpha}{2}}}+{\ctg{\frac{\gamma}{2}}}\right)}$ $\ds{=OH{\frac{\sin{{\frac{\alpha}{2}}+{\frac{\gamma}{2}}}}{{\sin{\frac{\alpha}{2}}}{\sin{\frac{\gamma}{2}}}}}}$ $\ds{=OH{\frac{\sin{90-{\frac{\beta}{2}}}}{{\sin{\frac{\alpha}{2}}}{\sin{90-{\frac{{\alpha}+{\beta}}{2}}}}}}}$ $\ds{=OH{\frac{2{\cos{\frac{\beta}{2}}}}{{\sin{\frac{\alpha}{2}}}{\cos{\frac{{\alpha}+{\beta}}{2}}}}}}$ $\ds{=OH{\frac{\cos{\frac{\beta}{2}}}{{\frac{1}{2}}{{\sin{\frac{{\alpha}-{\alpha}-{\beta}}{2}}}+{\sin{\frac{{\alpha}+{\alpha}+{\beta}}{2}}}}}}}$ $\ds{=OH{\frac{2{\cos{\frac{\beta}{2}}}}{{\sin{\frac{-{\beta}}{2}}}+{\sin{{\alpha}+{\frac{\beta}{2}}}}}}}$ $\ds{=OH{\frac{2{\cos{\frac{\beta}{2}}}}{{\sin({{\alpha}+{\frac{\beta}{2}}})}-{\sin{\frac{\beta}{2}}}}}}$ $\ds{=OH{\frac{2{\cos{\frac{\beta}{2}}}}{2{\sin{\frac{{\alpha}+{\frac{\beta}{2}}-{\frac{\beta}{2}}}{2}}}{\cos{\frac{{\alpha}+{\frac{\beta}{2}}+{\frac{\beta}{2}}}{2}}}}}}$ $\ds{=OH{\frac{\cos{\frac{\beta}{2}}}{{\sin{\frac{\alpha}{2}}}{\cos{\frac{{\alpha}+{\beta}}{2}}}}}}.$

Подставив значение $AC$ , полученное из теоремы синусов в пункте 2, получаем следующее равенство:

${\frac{a {\sin{\beta}}}{\sin{\alpha}}}=OH{\frac{\cos{\frac{\beta}{2}}}{{\sin{\frac{\alpha}{2}}}{\cos{\frac{{\alpha}+{\beta}}{2}}}}}$ ;

$OH = \frac{a {\sin{\beta}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}{\cos{\frac{{\alpha}+ {\beta}}{2}}}}{\sin{\alpha}{\cos{\frac{\beta}{2}}}}$ .

4. Рассмотрим $\bigtriangleup MON$ , основанием которого является $MN$ .

$\bigtriangleup MON$ — равнобедренный:

$MN$ — хорда длиной $d$ , отсечённая данной окружностью (по условию), т.е. $MN=d$ .

$OM=ON=R$ — радиус данной окружности, который необходимо найти.

$OH$ — высота равнобедренного $\bigtriangleup MON$ . Из этого следует, что точка $H$ является серединой $MN$ , т.е. $MH={\frac{1}{2}MN}={\frac{1}{2}d}$ .