Элементарная математика. Геометрия.

Задача 235

На отрезке $AB$ длины $R$ как на диаметре построена окружность. Вторая окружность такого же радиуса, что и первая, имеет центр в точке $A$. Третья окружность касается первой внутренним образом, второй — внешним образом, а также касается отрезка $AB$. Найти радиус третьей окружности.

Решение:

Известно, что у касающихся окружностей, их центры и точка касания лежат на одной прямой. Поэтому мы проведем прямые $AO_{2}$ и $O_{1}O_{2}$, где точки $E$ и $D$ — точки касания. Так как для решения нам нужно найти радиус, и нам известно, что третья окружность касается отрезка $AB$, то искомый радиус мы опустим из центра $O_{2}$ в точку касания с отрезком $AB$, пусть будет точка $C$. Радиус этой окружности, $O_{1}C$, назовем его $r$, будет перпендикулярен отрезку $AB$, так как касательная к окружности перпендикуляра радиусу, проведенному в точку касания. Мы видим, что проведенные нами прямые образуют прямоугольные треугольники $AO_{2}C$ и $O_{1}O_{2}C$. Для удобства дальнейших расчетов, в связи с тем, что радиус большой окружности по условию составляет $\frac{R}{2}$, назовем большой радиус $a$, $a=\frac{R}{2}$. Находить меньший радиус будем с помощью теоремы Пифагора. Но нам неизвестна длина отрезка $O_{1}C$. И в итоговом уравнении будут две переменные. Поэтому представим $O_{1}C$ c помощью $a$ и искомой неизвестной $r$.

$O_{1}C=AC-AO_{1}$, $AO_{1}=a$.

Чтобы найти $AC$, воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике $AO_2C$:

$AC=\sqrt{(AO_{2})^2-(O_{2}C)^2}$.

Так как по условию, $AO_{2}=a+r$, $O_{2}C=r$, то после после подстановки получим:

$O_{1}C=\sqrt{(a+r)^2-(r)^2}-a$.

Теперь будем рассматривать треугольник $O_{1}O_{2}C$. Сторону $O_{1}C$ мы уже получили. Сторона $O_{2}C$ это искомый радиус длиной $r$. Найдем сторону $O_{1}O_{2}$. Так как $O_{1}D$ это радиус большого круга, он равен $a$, а $O_{2}D$ это радиус меньшего круга, его длина это искомый радиус $r$. Тогда сторону $O_{1}O_{2}$ можно представить как $O_{1}D-O_{2}D$ или $a-r$. Теперь мы снова можем воспользоваться теоремой Пифагора и составить уравнение для поиска неизвестной стороны:

$(O_{1}O_{2})^2=(O_{1}C)^2+(O_{2}C)^2$.

После подстановки:

$(a-r)^2=r^2+(\sqrt{(a+r)^2-r^2}-a)^2$,

$a^2+r^2-2ar=r^2+a^2+r^2+2ar-r^2+a^2-2a\sqrt{(a+r)^2-r^2}$.

Изолируем корень в правой части и приведем подобные, после всех вычислений получим:

$4ar+a^2=2a\sqrt{(a+r)^2-r^2}$.

Возведем в квадрат обе части последнего равенства:

$16r^2+a^2+8ar=4a^2+8ar$.

Или:

$16r^2=3a^2$.

Выразим $r$:

$r=\frac{a\sqrt{3}}{4}$.

А так как мы изначально условились, что:

$a=\frac{R}{2}$,

то в итоге получим:

$r=\frac{R\sqrt{3}}{8}$.

Ответ:

$\frac{R\sqrt{3}}{8}$.