Задача 296.

Найдите наибольший угол треугольника, если известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник с вершинами в основаниях высот данного треугольника, в два раза меньше наименьшей высоты данного треугольника.

Решение:

Пусть AA_1, BB_1, CC_1 — высоты треугольника ABC, H — точка их пересечения.
Докажем, что для остроугольного треугольника ABC точка H является точкой пересечения биссектрис треугольника A_1B_1C_1, то есть центром вписанной в него окружности.
У прямоугольных треугольников ABA_1 и BC_1C один угол \frac{\pi}{2} и общий \angle{B}.
Следовательно \angle{BAA_1}=\angle{BCC_1}=\alpha.
Тогда \angle{HB_1C_1}=\alpha, так как опирается на ту же дугу, что и \angle{C_1AH} в окружности, описанной около C_1AB_1H.
\angle{A_1B_1H}=\alpha, так как опирается на ту же дугу, что и \angle{A_1CH} в окружности, описанной около четырёхугольника A_1CB_1H.
Так как \angle{A_1B_1H}=\angle{C_1B_1H}=\alpha, B_1H — биссектриса.
Аналогично можно доказать, что A_1H и CH биссектрисы углов \angle{С_1A_1B_1}, \angle{B_1C_1A_1}.
Таким образом H является точкой пересечения биссектрис треугольника A_1B_1C_1, т.е. H — центр вписанной в этот треугольник окружности.
Рассмотрим 3 случая:
1) Предположим, что данный треугольник является остроугольным. Не нарушая общности, пусть \angle B — наибольший угол,\angle{B} \geq \pi/3.
Поскольку треугольники C_1BA_1 и C_1B_1A подобны, \angle{C_1BA_1}=\angle{C_1AB_1}
Так как BB_1 — наименьшая высота треугольника ABC, что следует из предположения, что \angle B наибольший, радиус окружности, вписанной в треугольник A_1B_1C_1, можно вычислить как r=HB_1\sin{C_1B_1H}.
Значит, при таких углах {B} не может быть достигнуто соотношение для радиуса и наименьшей высоты, указанное в условии.
2) В случае прямоугольного треугольника противоречие возникает при построении (в этом легко убедиться, если передвинуть точку B в соответствующее положение).
3) Если в треугольнике ABC угол B тупой, то его высоты пересекутся за пределами треугольника.
Докажем, что B — центр вписанной в треугольник A_1B_1C_1 окружности. Рассмотрим треугольник ACH. Данный треугольник является остроугольным, CA_1, AC_1, HB_1 — высоты данного треугольника. Высоты треугольника AHC пересекаются в точке B, следовательно B — точка пересечения биссектрис треугольника A_1B_1C_1, то есть центр вписанной в него окружности (это доказывается аналогично приведенному выше случаю с остроугольным треугольником).
При этом \angle{BB_1A_1}=\angle{ABC}-\frac{\pi}{2}.
Из равенства \frac{1}{2}BB_1=BB_1\sin{\angle{BB_1A_1}}=-BB_1\cos{\angle{ABC}} найдем \cos{\angle{ABC}}=-\frac{1}{2}.
Таким образом, \angle{ABC}=\arccos{(-0.5)}=\frac{2\pi}{3}.

Ответ:

\frac{2\pi}{3}.
Последнее изменение: воскресенье, 5 января 2020, 14:49