Элементарная математика. Геометрия.

Задача 4

Докажите, что если все двугранные углы при основании пирамиды равны между собой, то в основании пирамиды лежит многоугольник, в который можно вписать окружность, и вершина пирамиды проецируется в центр окружности.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:

Рассмотрим произвольную треугольную пирамиду $HABC$. Проведем высоты $HF, HE, HD$ боковых граней и высоту пирамиды $HG$.

Соединим точки пересечения высот и оснований боковых граней с точкой $G$. Тогда по теореме о трех перпендикулярах получим, что $GD\perp HD, GE\perp HE, GF\perp HF$. Следовательно, $\angle HDG=\angle HEG=\angle HFG$ так как этими линейными углами измеряются двугранные углы при основании пирамиды, которые равны по условию.

Заметим, что ${\triangle} EGH ={\triangle} FGH ={\triangle} DGH$ как прямоугольные треугольники с общим катетом $HG$ и равным острым углом.

Из равенства треугольников следует $DG = EG = FG$. Значит точка $G$ равноудалена от всех сторон ${\triangle} ABC$ и, следовательно, является центром окружности, вписанной в основание данной пирамиды.