Элементарная математика. Геометрия.

Решение:

Пусть $ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма, причем $AB=BB_1$.

Прямые $DC_{1}$ и $BC$ принадлежат одной плоскости $BB_{1}C_{1}C$, поэтому продолжим их до пересечения в точке $X$.

Плоскость $XAC_{1}$ — плоскость, проходящая через противоположные вершины боковой грани и середину противолежащего этой грани бокового ребра, а плоскость $XAC$ — плоскость основания призмы. Значит $XA$ — линия пересечения плоскостей $XAC$ и $XAC_{1}$.

Рассмотрим $\triangle C_{1}CX$, в котором $DB$ является средней линией. Из этого следует, что $XB=BC=BA$. Следовательно, $\triangle XBA$ — равнобедренный.

Поскольку $\angle XBA=120^\circ$ — смежный угол к $\angle ABC$, то $\angle BAX = 30^\circ$. Значит $\angle XAC=\angle BAC+\angle XAB=90^\circ$.

Из этого следует, что $\angle CAC_{1}$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями $XAC$ и $XAC_{1}$.

По условию все рёбра призмы равны между собой, поэтому $AC = CC_{1}$.

Из этого следует, что $\triangle ACC_{1}$ — прямоугольный равнобедренный, поэтому $\angle CAC_{1} = 45^\circ$.