ЭМГеометрия: Задача S40

Задача 40

Основания двух правильных треугольных пирамид расположены в одной плоскости. Сторона основания и высота одной равны $3$ и $2$ , другой, наоборот, $2$ и $3$ . Плоскость, параллельная основаниям, пересекает эти пирамиды по равным треугольникам. Найдите площади этих сечений.

Решение:

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Обозначим заданные правильные треугольные пирамиды $NMLK$ и $SABC$ . При этом

$BC=AC=AB=3$ , $SH=2$ ; $KM=ML=KL=2$ и $NO=3$ .

Пусть $A_1B_1C_1$ — сечение пирамиды $SABC$ , а ${K_1L_1M_1}$ — сечение пирамиды $NMLK$ . Тогда
$S_{\triangle ABC}=\dfrac{9\sqrt 3}{4}$ ;
$S_{\triangle KLM}=\dfrac{4\sqrt 3}{4}$ .

Так как плоскость сечения параллельна плоскости, в которой лежат оба основания, а пирамиды — правильные, то сечения — одинаковые равносторонние треугольники с равными площадями.
Для нахождения площади сечения пирамиды воспользуемся тем, что площади основания и сечения относятся, как квадраты их расстояний от вершины. (смотрите здесь):

$\dfrac{S_{\triangle A_1B_1C_1}}{S_{\triangle ABC}}=\dfrac{SH_1^2}{SH^2}$ , $\dfrac{S_{\triangle K_1L_1M_1}}{S_{\triangle KLM}}=\dfrac{NO_1^2}{NO^2}$
или
$S_{\triangle A_1B_1C_1}=\dfrac{S_{\triangle ABC}\cdot SH_1^2}{SH^2}$ ;
$S_{\triangle K_1L_1M_1}=\dfrac{S_{\triangle KLM}\cdot NO_1^2}{NO^2}$ .
Как видно из рисунка
$SH_1=SH-H_1H, NO_1=NO-O_1O$ .
Тогда
$S_{\triangle A_1B_1C_1}=\dfrac{S_{\triangle ABC}\cdot(SH-H_1H)^2}{SH^2}$ ;
$S_{\triangle K_1L_1M_1}=\dfrac{S_{\triangle KLM}\cdot(NO-O_1O)^2}{NO^2}$ .