Элементарная математика. Геометрия.

Задача 63

В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$, в котором $AB=3$. Высота пирамиды равна $4$ и проходит через середину $AD$. Найдите $AD$, если известно, что в эту пирамиду можно вписать шар.

Решение:

Пусть $AO=OD$. Так как в пирамиду $SABCD$ можно вписать шар (пусть его радиус будет равен $R$), то это значит, что в $\triangle ASD$ и в $\triangle SOO_{1}$ (где $O_{1}$ является серединой ребра $BC$) можно вписать круги радиусом $R$ (так как круги это проекции шара на плоскости).

По условию $\triangle SOO_{1}$ является прямоугольным в силу того, что $SO$ — высота пирамиды, а точка $O$ — середина $AD$. Так как $OO_{1}=AB=3$, а $SO=4$, то по теореме Пифагора $SO_1^2=SO^2+OO_1^2=25$. Значит, $SO_1=5$. Отсюда, по формуле для радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности, получаем
$R=\frac{OO_1+SO-SO_1}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1$.

Рассмотрим равнобедренный $\triangle ASD$. Выразим площадь этого треугольника по двум разным формулам
$S=R\cdot p$ и $S=\frac{1}{2}SO\cdot AD=\frac{1}{2}4AD=2AD$,
где $p$ полупериметр.
Так как $R=1$, то $S=p$.

В силу того, что $\triangle ASD$ — равнобедренный ($SD=SA$), формула полупериметра имеет вид $p=\frac{AD+2AS}{2}$.
Значит $\frac{AD+2AS}{2}=2AD$.

Отсюда найдем

$AD+2AS=4AD$;

$AD=2AO=\frac{2AS}{3}$;

$AS=3 AO$.

Для  прямоугольного $\triangle ASO$ по теореме Пифагора имеем $AS^2=AO^2+SO^2$. Подставим сюда известные величины и выполним преобразования:

$9AO^2=AO^2+16$;

$AO^2=2$;

$AO= \sqrt{2}$.

Так как $AD=2AO$, то $AD=2 \sqrt{2}$.

Ответ:

$2 \sqrt{2}$.