ЭМГеометрия: Задача S77

Задача 77

Найдите объем тела, получающегося при вращении прямоугольника со сторонами $AB=1$ и $BC=2$ вокруг его диагонали.

Решение:

Построим заданный в условии прямоугольник и проведем диагональ $AC$ . Будем искать объем $V_{вр}$ фигуры вращения относительно данной диагонали.

Пусть на рисунке точка $D_1$ будет симмeтрична точке $D$ относительно $AC$ . Соединим точку $D_1$ с $A$ и $C$ . Тогда $\triangle ADC = \triangle AD_1C$ , так как треугольники симметричны друг другу относительно $AC$ . Пусть $M$ — точка пересечения $BC$ и $AD_1$ .

Как нетрудно заметить, искомый объем тела вращения представляет собой сумму объемов двух тел, полученных вращением $\triangle ABC$ и $\triangle AD_1C$ вокруг $AC$ , за вычетом объема тела, получающегося при вращении $\triangle AMC$ :
$V_{вр} = V_{врABC} + V_{врAD_1C} - V_{врAMC}=2V_{врAD_1C}- V_{врAMC}$ .

Найдем объем $V_{врAD_1C}$ . Для этого проведем высоту из точки $D_1$ к отрезку $AC$ и обозначим точку основания высоты $D_2$ . Найдем объем $V_{врAD_1C}$ как сумму объемов двух конусов с радиусом $D_1D_2$ и высотами $AD_2$ и $D_2C$ .
$V_{врAD_1C} = \frac{1}{3}\pi {D_1D_2}^2 (AD_2 + D_2C) = \frac{1}{3}\pi \cdot D_1D_2^2 \cdot AC$ .

Находим $AC$ по теореме Пифагора для $\triangle ABC$
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{5}$ ,
а $D_1D_2$ из свойства, что высота, проведенная из вершины прямого угла треугольника, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу,
$D_1D_2 = \frac{AD_1 \cdot D_1C}{ AC } = \frac{2}{ \sqrt{5} }$ .

Найдем $V_{врAMC}$ :
Проведем высоту из точки $M$ к отрезку $AC$ и обозначим точку основания высоты $N$ . Найдем объем $V_{врAMC}$ как сумму объемов двух равных конусов с радиусом $MN$ и высотами $AN$ и $NC$ .
$V_{врAMC} = \frac{1}{3}\pi {MN}^2 (AN + NC) = \frac{1}{3}\pi \cdot MN^2 \cdot AC$ .