ЭМГеометрия: Задача S84

Задача 84

В правильной четырёхугольной призме, высота которой равна $5$ , а сторона основания $2$ , проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину основания параллельно диагонали основания и образующей угол $60^ \circ$ с плоскостью основания. Найдите площадь сечения.

Замечание.
Обратите внимание, что рисунок интерактивный. Точки, большие по размеру, можно двигать мышкой.

Решение:
Пусть искомое сечение проходит через вершину основания $A$ параллельно диагонали основания $BD$ и образует угол $60 ^\circ$ с плоскостью основания.
Проведем прямую $WV$ через точку $A$ параллельно диагонали $BD$ , затем диагональ основания $AC$ и наклонную $AT$ так, что: $T \in CC_1, \angle{TAC} = 60^\circ, AT \perp WV.$

Рассмотрим $\triangle{ACT}$ , $\angle{ACT} = 90^\circ$ , $\angle{CAT} = 60^\circ$ , $CA=AB\sqrt{2} =2\sqrt{2}$ . Так как $\text{tg} \angle{CAT}= \frac{TC}{CA} =\text{tg} 60^\circ=\sqrt{3}$ , то $TC=AC\sqrt{3}=2\sqrt{6}\lt 5$ . Значит точка $T$ лежит на отрезке $CC_1$ .

В силу того, что $WV$ содержит точку $A$ и $WV\parallel BD$ , заключаем, что заданная плоскость содержит прямую $WV$ .
Пусть плоскость $DD_1C_1C$ пересекает $WV$ в точке $V$ . Соединяя точки $T$ и $V$ , находим точку $N$ , как точку пересечения $TV$ и $DD_1$ . Аналогично получим точку $M$ . Значит в сечении призмы плоскостью мы получили параллелограмм $AMTN$ . Очевидно, что диагонали этого параллелограмма пересекаются под прямым углом. Следовательно $AMTN$ — ромб.