Элементарная математика. Геометрия.

Задача 14

В единичном кубе $A B C D A_1 B_1 C_1 D_1$ найти расстояние от точки $A_1$ до плоскости $B D C_1$.

Решение:
Составим уравнение плоскости, проходящей через точки $B(0;1;0)$, $D(1;0;0)$, $C_1(1;1;1)$ (см. рис.).

Для этого подставим координаты этих точек в общее уравнение плоскости

$a x + b y + c z + d =0$.

Получим систему уравнений

$b + d = 0$,
$a + c = 0$,
$a + b + c + d = 0$,

или

$b = -d$,
$a = -d$,
$c = d$.

Отсюда находим уравнение

$- d x - d y + d z + d = 0$,

или

$x + y - z - 1 =0$.

По формуле находим расстояние от точки $A_1(0;0;1)$ до плоскости $\beta = B D C_1$:

$\rho ( A_1 , \beta ) = \frac{| 0 + 0 - 1 - 1 |}{\sqrt{1 + 1 +1}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$.

Ответ:

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$