Элементарная математика. Геометрия.

Задача 4

В единичном кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ на диагоналях граней $AD_{1}$ и $D_{1}B_{1}$ взяты точки $E$ и $F$ так, что $D_{1}E=\frac{1}{3}AD_{1}, D_{1}F=\frac{2}{3}D_{1}B_{1}$. Найти расстояние от точки $D_{1}$ до прямой $EF$.

Решение:

Пусть $h$ — длина высоты треугольника $D_{1}EF$, опущенной из точки $D_{1}$. Найдем $h$, используя метод площадей.

Площадь треугольника $D_{1}EF$ равна $\frac{1}{2}D_{1}F \cdot D_{1}E \cdot \sin \angle FD_{1}E=\frac{1}{2} \cdot \frac{2sqrt{2}}{3} \cdot \frac{sqrt{2}}{3} \cdot \frac{sqrt{3}}{2}=\frac{sqrt{3}}{9}$.
С другой стороны площадь треугольника $D_{1}EF$ равна $\frac{1}{2}FE \cdot h=\frac{sqrt{6}}{6}h$.
Из уравнения $\frac{sqrt{3}}{9}=\frac{sqrt{6}}{6}h$ находим искомое расстояние $h=\frac{sqrt{2}}{3}$.

Замечание
Можно заметить, что выполняется равенство $FE^2+D_{1}E^2=D_{1}F^2$, т.е. треугольник $D_{1}EF$ прямоугольный и длина отрезка $D_{1}E$ является искомым расстоянием.

Ответ:

$\frac{sqrt{2}}{3}$.