Элементарная математика. Геометрия.

Задача 3

В единичном кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ на диагоналях граней $AD_{1}$ и $D_{1}B_{1}$ взяты точки $E$ и $F$ так, что $D_{1}E=\frac{1}{3}AD_{1}, D_{1}F=\frac{2}{3}D_{1}B_{1}$. Найти длину отрезка $EF$.

Решение:

Пусть $\vec{AD}=\vec{a}$, $\vec{AB}=\vec{b}$, $\vec{AA_{1}}=\vec{c}$ (см. рис.), тогда $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1.$

$\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{a} \cdot \vec{c}=\vec{b} \cdot \vec{c}=0.$

Выразим вектор $\vec{FE}$ через базисные векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}:$
$\vec{FE}=\vec{EA}+\vec{AB_{1}}+\vec{B_{1}F}=-\frac{2}{3}(\vec{a}+\vec{c})+(\vec{b}+\vec{c})+\frac{1}{3}(\vec{a}-\vec{b})=-\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}.$

Тогда
$|\vec{FE}|=\sqrt{\vec{FE}^2}=\sqrt{(\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c})^2}=\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{6}{9}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.$

Ответ:

$\frac{sqrt{6}}{3}$ .